As equações de Euler são equações diferenciais que podem ser escritas na forma
x^2 y^prime prime+b x y^prime+c y=0, para d, c in R
Mostre que existem valores de r tais que y(x)=x^r é solução da equação diferencial. Mostre também que x^r é solução se e somente se r é solução da equação indicial
r^2+(b-1) r+c=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Euler
x^2y'' + b,x,y' + c,y = 0,
e pede para verificar que, ao tentar a solução do tipo
y(x) = x^r,
os expoentes r possíveis são exatamente as raízes da chamada equação indicial
r^2 + (b-1),r + c = 0
Para isso, vamos precisar calcular y' e y'' quando y=x^r e depois substituir na equação diferencial.

Passo 2

Calculemos as derivadas de y=x^r:
y' = ddxl(x^rr) = r,x^r-1,
y'' = ddxl(r,x^r-1r) = r,(r-1),x^r-2

Passo 3

Substituindo y, y' e y'' na equação de Euler, obtemos
x^2l[r(r-1)x^r-2r] + b,xl[r,x^r-1r] + cl[x^rr] =0
Fatorando x^r em evidência:
x^rl[r(r-1) + b,r + cr] = 0
Como x^rneq0 para x>0, a condição de solução é
r(r-1) + b,r + c = 0,
que se rearranja para
r^2 + (b-1),r + c = 0

Passo 4

Vimos que, ao substituir y=x^r, a equação diferencial só se satisfaz quando
r^2 + (b-1),r + c = 0
Logo, y=x^r é solução se e somente se r é raiz dessa equação quadrática (a equação indicial).

Resposta

Os valores de r que tornam y(x)=x^r solução da equação de Euler são exatamente as raízes da equação indicial
r^2 + (b-1),r + c = 0

Exercícios relacionados