As equações de Euler são equações diferenciais que podem ser escritas na forma
Mostre que existem valores de
tais que
é solução da equação diferencial. Mostre também que
é solução se e somente se
é solução da equação indicial
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Euler
e pede para verificar que, ao tentar a solução do tipo
os expoentes
possíveis são exatamente as raízes da chamada equação indicial
Para isso, vamos precisar calcular
e
quando
e depois substituir na equação diferencial.
Passo 2
Calculemos as derivadas de
:
Passo 3
Substituindo
,
e
na equação de Euler, obtemos
Fatorando
em evidência:
Como
para
, a condição de solução é
que se rearranja para
Passo 4
Vimos que, ao substituir
, a equação diferencial só se satisfaz quando
Logo,
é solução se e somente se
é raiz dessa equação quadrática (a equação indicial).
Resposta
Os valores de
que tornam
solução da equação de Euler são exatamente as raízes da equação indicial