A Função Gama. A função gama, denotada por Gamma(p), é definida pela integral
Gamma(p+1)=integral0^infty e^-x x^p d x
A integral converge quando x infty para todo p. Para p<0, também é imprópria em x=0, já que o integrando se torna ilimitado quando x 0. No entanto, pode-se mostrar que a integral converge em x=0 para p>-1.
a. Mostre que, para p>0,
Gamma(p+1)=p Gamma(p)
b. Mostre que Gamma(1)=1.
c. Se p for um inteiro positivo n, mostre que
Gamma(n+1)=n!
Como Gamma(p) também está definido quando p não é inteiro, esta função fornece uma extensão da função fatorial para valores não inteiros da variável independente. Note que também é consistente definir 0!=1.
d. Mostre que, para p>0,
p(p+1)(p+2) cdots(p+n-1)=Gamma(p+n)Gamma(p)
Assim, Gamma(p) pode ser determinado para todos os valores positivos de p se Gamma(p) for conhecido em um único intervalo de comprimento um - por exemplo, em 0<p <= 1. É possível mostrar que Gamma(12)=raizpi. Encontre Gamma(32) e Gamma(112).

Passo 1

O enunciado apresenta a função Gama, definida por
Gamma(p+1)=integral0^inftye^-xx^pdx,
e pede para demonstrar:
a) a relação de recorrência Gamma(p+1)=p,Gamma(p) para p>0;
b) que Gamma(1)=1;
c) que, se n é inteiro positivo, Gamma(n+1)=n!;
d) que
p(p+1)cdots(p+n-1)=Gamma(p+n)Gamma(p);
por fim, usando Gamma(tfrac12)=raizpi, encontrar Gamma(tfrac32) e Gamma(tfrac112).
Vamos usar integração por partes, recorrência e propriedades da função Gama.

Passo 2

Para provar Gamma(p+1)=p,Gamma(p), fazemos integração por partes em
Gamma(p+1)=integral0^inftye^-xx^pdx
Escolhemos
u=x^p, dv=e^-xdx,
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du=p,x^p-1dx, v=-e^-x
Aplicando a fórmula integral u,dv=[u,v]0^infty-integral v,du, obtemos
Gamma(p+1) =l[-x^pe^-xr]0^infty +integral0^inftye^-xp,x^p-1dx
Como x^pe^-xto0 em xtoinfty e vale 0 em x=0 para p>0, o termo de contorno some, restando
Gamma(p+1)=pintegral0^inftye^-xx^p-1dx = p,Gamma(p)

Passo 3

Para mostrar Gamma(1)=1, basta pôr p=0 na definição:
Gamma(1)=integral0^inftye^-xx^0dx =integral0^inftye^-xdx =l[-e^-xr]0^infty=1

Passo 4

Se n é inteiro positivo, aplicamos a recorrência repetidamente:
Gamma(n+1)=n,Gamma(n) =n,(n-1),Gamma(n-1) =cdots =n,(n-1)cdots1,Gamma(1) =n!

Passo 5

Para provar
p(p+1)cdots(p+n-1)=Gamma(p+n)Gamma(p),
usamos a recorrência n vezes em Gamma(p+n):
Gamma(p+n) =(p+n-1),Gamma(p+n-1) =(p+n-1)(p+n-2),Gamma(p+n-2) =cdots =l[p(p+1)cdots(p+n-1)r]Gamma(p)
Dividindo por Gamma(p) vem a igualdade desejada.

Passo 6

Finalmente, sabendo que Gamma(tfrac12)=raizpi, calculamos
Gammal(tfrac32r) =tfrac12,Gammal(tfrac12r) =tfrac12,raizpi
e
Gammal(tfrac112r) =l(tfrac92r)Gammal(tfrac92r) =l(tfrac92r)l(tfrac72r)Gammal(tfrac72r) =cdots =l(tfrac12cdottfrac32cdottfrac52cdottfrac72cdottfrac92r)Gammal(tfrac12r)
O produto tfrac12cdottfrac32cdottfrac52cdottfrac72cdottfrac92=dfrac1cdot3cdot5cdot7cdot92^5=dfrac94532.

Resposta

Gammal(tfrac32r)=raizpi2, Gammal(tfrac112r)=94532,raizpi

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