A Função Gama. A função gama, denotada por
, é definida pela integral
A integral converge quando
para todo
. Para
, também é imprópria em
, já que o integrando se torna ilimitado quando
. No entanto, pode-se mostrar que a integral converge em
para
.
a. Mostre que, para
,
b.
Mostre que
.
c. Se
for um inteiro positivo
, mostre que
Como
também está definido quando
não é inteiro, esta função fornece uma extensão da função fatorial para valores não inteiros da variável independente. Note que também é consistente definir
.
d. Mostre que, para
,
Assim,
pode ser determinado para todos os valores positivos de
se
for conhecido em um único intervalo de comprimento um - por exemplo, em
. É possível mostrar que
. Encontre
e
.
a. Mostre que, para
c. Se
d. Mostre que, para
Passo 1
O enunciado apresenta a função Gama, definida por
e pede para demonstrar:
a) a relação de recorrência para
;
b) que ;
c) que, se é inteiro positivo,
;
d) que
a) a relação de recorrência
b) que
c) que, se
d) que
por fim, usando
, encontrar
e
.
Vamos usar integração por partes, recorrência e propriedades da função Gama.
Vamos usar integração por partes, recorrência e propriedades da função Gama.
Passo 2
Para provar
, fazemos integração por partes em
Escolhemos
logo
Aplicando a fórmula
, obtemos
Como
em
e vale
em
para
, o termo de contorno some, restando
Passo 3
Para mostrar
, basta pôr
na definição:
Passo 4
Se
é inteiro positivo, aplicamos a recorrência repetidamente:
Passo 5
Para provar
usamos a recorrência
vezes em
:
Dividindo por
vem a igualdade desejada.
Passo 6
Finalmente, sabendo que
, calculamos
e
O produto
.