Encontre a transformada de Laplace da função dada.
f(t)=lct, & 0 <= t<1 2-t, & 1 <= t<2 0, & 2 <= t<infty

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t), definida por partes em [0,infty). Para isso vamos usar a definição
Lf(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
e decompor a integral em dois trechos onde f(t) é diferente: de 0 a 1 e de 1 a 2 (depois de 2 é zero).

Passo 2

Escrevemos
Lf(s) =integral0^1t,e^-st,dt +integral1^2(2-t),e^-st,dt

Passo 3

Calculamos
I1=integral0^1t,e^-st,dt
por partes, tomando u=t, dv=e^-stdt. Então
u'=1, v=-1se^-st,
I1 =l[-tse^-str]0^1 +1sintegral0^1e^-st,dt =-e^-ss +1sl[-1se^-str]0^1 =1s^2-e^-sl(1s+1s^2r)

Passo 4

Calculamos
I2=integral1^2(2-t),e^-st,dt =2integral1^2e^-st,dt -integral1^2t,e^-st,dt
Para a primeira parte,
2integral1^2e^-st,dt =2l[-1se^-str]1^2 =2sl(e^-s-e^-2sr)
Para a segunda parte usamos partes de novo:
integral1^2t,e^-st,dt =l[-tse^-str]1^2 +1sintegral1^2e^-st,dt =-2e^-2ss+e^-ss +1sl[-1se^-str]1^2 =-2e^-2ss+e^-ss -e^-2ss^2+e^-ss^2
Subtraindo,
I2 =2s(e^-s-e^-2s) -l(-2e^-2ss+e^-ss-e^-2ss^2+e^-ss^2r) =e^-sl(1s-1s^2r)+e^-2ss^2

Passo 5

Somando I1+I2 e rearranjando:
Lf(s) =l(1s^2-e^-ss+1s^2r) +l(e^-ss-1s^2+e^-2ss^2r) =1-2e^-s+e^-2ss^2 =l(1-e^-sr)^2s^2

Resposta

Lf(s)=l(1-e^-sr)^2s^2

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