Equações da forma
. Faça
e temos
Resolva:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede encontrar as soluções
. Informações relevantes:
- A incógnita é a função
. - A derivada primeira é
e a segunda é . - O domínio é
. - É indicada a substituição
, que transforma a equação de segunda ordem em uma equação de primeira ordem para .
O objetivo final: obter a família geral de soluções(com as constantes de integração) e observar possíveis soluções singulares.
Passo 2
Fazendo a substituição sugerida, defina
Então
. Substituindo na equação original obtemos uma equação de primeira ordem para
:
Essa é uma equação de primeira ordem que não envolve
diretamente, o que justifica a substituição. Agora vamos resolver essa equação para
.
Passo 3
Observe que a equação para
é separável. Podemos escrevê‑la como
Escrevendo
e separando as variáveis:
Explico a ideia: separar significa colocar todos os termos em
de um lado e todos os termos em
do outro, para então integrar cada lado em relação à sua variável.
Passo 4
Integramos ambos os lados. As integrais são simples potências:
Cálculo de cada integral:
Igualando (podemos absorver constantes) obtemos
onde
é uma constante arbitrária (resultado de
). Multiplicando por
:
Passo 5
Invertendo para obter
:
Aqui
é uma constante real de integração. Observações importantes:
- Há também a solução constante
(se então e a equação é satisfeita). Essa solução precisa ser listada separadamente. - A expressão
está bem definida para os tais que . Como o enunciado pede , devemos garantir no intervalo considerado.
Passo 6
Agora voltamos a
. Lembrando que
, integramos
para obter
.
Para integrar, manipule a fração. Escreva
Para integrar, manipule a fração. Escreva
válido quando
. Assim
Integramos cada termo:
Portanto, para
,
onde
é outra constante de integração.
Passo 7
Tratamento das situações especiais:
- Caso
: a fórmula dá . Integrando obtemos
que corresponde ao limite
da expressão geral (é útil verificar o limite de
quando
).
- Solução singular
: então e
uma constante (aqui
é constante arbitrária).
Também é importante lembrar que, para a família com
, a solução é válida em intervalos onde
; dado
, escolhe‑se o intervalo em que esse denominador não anula.