Equações da forma y^{\prime \prime}=f\left(t, y^{\prime}\right). Faça v=y^{\prime} e temos
v^{\prime}=f(t, v)
Resolva:
t^{2} y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{2}, \quad t>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t^{2}y^{\prime\prime}=\left(y^{\prime}\right)^{2},\qquad t>0,
e pede encontrar as soluções y(t). Informações relevantes:
  • A incógnita é a função y(t).
  • A derivada primeira é y^{\prime}=\dfrac{dy}{dt} e a segunda é y^{\prime\prime}=\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}.
  • O domínio é t>0.
  • É indicada a substituição v=y^{\prime}, que transforma a equação de segunda ordem em uma equação de primeira ordem para v(t).
    O objetivo final: obter a família geral de soluções y(t) (com as constantes de integração) e observar possíveis soluções singulares.

Passo 2

Fazendo a substituição sugerida, defina
v(t)=y^{\prime}(t).
Então v^{\prime}(t)=y^{\prime\prime}(t). Substituindo na equação original obtemos uma equação de primeira ordem para v:
t^{2}v^{\prime}=v^{2}.
Essa é uma equação de primeira ordem que não envolve y diretamente, o que justifica a substituição. Agora vamos resolver essa equação para v(t).

Passo 3

Observe que a equação para v é separável. Podemos escrevê‑la como
v^{\prime}=\frac{v^{2}}{t^{2}}.
Escrevendo v^{\prime}=\dfrac{dv}{dt} e separando as variáveis:
\frac{dv}{v^{2}}=\frac{dt}{t^{2}}.
Explico a ideia: separar significa colocar todos os termos em v de um lado e todos os termos em t do outro, para então integrar cada lado em relação à sua variável.

Passo 4

Integramos ambos os lados. As integrais são simples potências:
\int \frac{dv}{v^{2}}=\int \frac{dt}{t^{2}}.
Cálculo de cada integral:
\int v^{-2}\,dv = -v^{-1} + C_{1}, \qquad \int t^{-2}\,dt = -t^{-1} + C_{2}.
Igualando (podemos absorver constantes) obtemos
-\,\frac{1}{v}=-\,\frac{1}{t}+C,
onde C é uma constante arbitrária (resultado de C_{1}-C_{2}). Multiplicando por -1:
\frac{1}{v}=\frac{1}{t}+C.

Passo 5

Invertendo para obter v:
v=\frac{1}{\dfrac{1}{t}+C}=\frac{t}{1+Ct}.
Aqui C é uma constante real de integração. Observações importantes:
  • Há também a solução constante v\equiv 0 (se v=0 então v^{\prime}=0 e a equação t^{2}v^{\prime}=v^{2} é satisfeita). Essa solução precisa ser listada separadamente.
  • A expressão v=\dfrac{t}{1+Ct} está bem definida para os t tais que 1+Ct\neq 0. Como o enunciado pede t>0, devemos garantir 1+Ct\neq 0 no intervalo considerado.

Passo 6

Agora voltamos a y. Lembrando que v=y^{\prime}, integramos
y^{\prime}=\frac{t}{1+Ct}
para obter y(t).
Para integrar, manipule a fração. Escreva
\frac{t}{1+Ct}=\frac{1}{C}\cdot\frac{Ct}{1+Ct} =\frac{1}{C}\left(\frac{1+Ct-1}{1+Ct}\right) =\frac{1}{C}\left(1-\frac{1}{1+Ct}\right),
válido quando C\neq 0. Assim
y(t)=\int y^{\prime}\,dt =\frac{1}{C}\int\left(1-\frac{1}{1+Ct}\right)\,dt.
Integramos cada termo:
\int 1\,dt = t,\qquad \int \frac{1}{1+Ct}\,dt=\frac{1}{C}\ln(1+Ct).
Portanto, para C\neq 0,
y(t)=\frac{1}{C}\,t - \frac{1}{C^{2}}\ln(1+Ct)+K,
onde K é outra constante de integração.

Passo 7

Tratamento das situações especiais:
  • Caso C=0: a fórmula v=\dfrac{t}{1+Ct} v=t. Integrando y^{\prime}=t obtemos
y(t)=\frac{t^{2}}{2}+K,
que corresponde ao limite C\to 0 da expressão geral (é útil verificar o limite de \dfrac{1}{C}t - \dfrac{1}{C^{2}}\ln(1+Ct) quando C\to 0).
  • Solução singular v\equiv 0: então y^{\prime}=0 e
y(t)=\widetilde{K},
uma constante (aqui \widetilde{K} é constante arbitrária).
Também é importante lembrar que, para a família com C\neq 0, a solução é válida em intervalos onde 1+Ct\neq 0; dado t>0, escolhe‑se o intervalo em que esse denominador não anula.

Resposta

\displaystyle y(t)=\frac{1}{C}\,t-\frac{1}{C^{2}}\ln(1+Ct)+K,\quad C\neq 0,\\ K\in\mathbb{R},\\ \text{válido para }1+Ct\neq0á
\displaystyle y(t)=\frac{t^{2}}{2}+K,\quad\text{(caso }C=0\text{)}
\displaystyle y(t)=\text{constante},\quad\text{(solução singular }y'\equiv0\text{)}çã

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