Encontre a solução do PVI.
Passo 1
O problema fornece a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais:
O que se pede é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais simultaneamente.]
Passo 2
Para equações lineares de coeficientes constantes como esta, a técnica padrão é procurar soluções da forma exponencial
. A ideia é testar essa forma porque derivadas de
trazem fatores simples:
Substituindo na equação diferencial obtém-se uma equação algébrica para
, chamada equação característica:
Como
, divide-se por
e surge a equação característica
Passo 3
Agora resolvemos a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática),
Portanto as duas raízes reais e distintas são
Passo 4
Como as raízes
e
são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Aplicamos a condição
. Substituindo
na solução geral:
Logo
Passo 6
Precisamos da derivada
para usar
. Derivando a solução geral:
Avaliar em
dá
Substituindo
obtém-se
portanto
Passo 7
Calculemos
:
Assim
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
(Alternativamente, usando função hiperbólica, essa solução pode ser escrita como
mas ambas as formas são equivalentes.)