Encontre a solução do PVI.
\left\{\begin{array}{l}2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-4 y=0 \\\ y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O problema fornece a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais:
\begin{cases} 2\,y''(x)+y'(x)-4\,y(x)=0,\\[4pt] y(0)=0,\quad y'(0)=1. \end{cases}
O que se pede é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais simultaneamente.]

Passo 2

Para equações lineares de coeficientes constantes como esta, a técnica padrão é procurar soluções da forma exponencial y(x)=e^{r x}. A ideia é testar essa forma porque derivadas de e^{r x} trazem fatores simples:
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^2 e^{r x}.
Substituindo na equação diferencial obtém-se uma equação algébrica para r, chamada equação característica:
2(r^2)e^{r x}+ (r)e^{r x}-4 e^{r x}=0.
Como e^{r x}\neq0, divide-se por e^{r x} e surge a equação característica
2r^2+r-4=0.

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática \,2r^2+r-4=0. Usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática),
r=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot2\cdot(-4)}}{2\cdot2} =\frac{-1\pm\sqrt{1+32}}{4} =\frac{-1\pm\sqrt{33}}{4}.
Portanto as duas raízes reais e distintas são
r_1=\frac{-1+\sqrt{33}}{4},\qquad r_2=\frac{-1-\sqrt{33}}{4}.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Aplicamos a condição y(0)=0. Substituindo x=0 na solução geral:
y(0)=C_1 e^{0}+C_2 e^{0}=C_1+C_2=0.
Logo
C_2=-C_1.

Passo 6

Precisamos da derivada y'(x) para usar y'(0)=1. Derivando a solução geral:
y'(x)=C_1 r_1 e^{r_1 x}+C_2 r_2 e^{r_2 x}.
Avaliar em x=0
y'(0)=C_1 r_1 + C_2 r_2 =1.
Substituindo C_2=-C_1 obtém-se
C_1 r_1 - C_1 r_2 = C_1(r_1-r_2)=1,
portanto
C_1=\frac{1}{r_1-r_2}.

Passo 7

Calculemos r_1-r_2:
r_1-r_2=\frac{-1+\sqrt{33}}{4}-\frac{-1-\sqrt{33}}{4}=\frac{2\sqrt{33}}{4}=\frac{\sqrt{33}}{2}.
Assim
C_1=\frac{1}{\tfrac{\sqrt{33}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{33}}, \qquad C_2=-\frac{2}{\sqrt{33}}.

Passo 8

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x)=\frac{2}{\sqrt{33}}\left(e^{\tfrac{-1+\sqrt{33}}{4}x}-e^{\tfrac{-1-\sqrt{33}}{4}x}\right).
(Alternativamente, usando função hiperbólica, essa solução pode ser escrita como
y(x)=\frac{4}{\sqrt{33}}\,e^{-x/4}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{\sqrt{33}}{4}x\right),
mas ambas as formas são equivalentes.)

Resposta

y(x)=\frac{2}{\sqrt{33}}\left(e^{\tfrac{-1+\sqrt{33}}{4}x}-e^{\tfrac{-1-\sqrt{33}}{4}x}\right)

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