Seja C a curva definida pela equações x=t^{3} e y=t^{6}, t \in[-1,1] :
(a) A curva é de classe C^{1} ?
(b) C é regular?
(c) Elimine o parâmetro e esboce o traço da curva.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada
\gamma(t) = (x(t),y(t)) = (t^3,\;t^6),\quad t\in[-1,1]
e pede três coisas: (a) verificar se é de classe C^1; (b) verificar se é regular; (c) eliminar o parâmetro e esboçar o traço.

Passo 2

Para ser de classe C^1 basta que \gamma(t) seja contínua e que sua derivada \gamma'(t) exista e seja contínua em [-1,1]. Calculamos
\gamma'(t) = \bigl(3t^2,\;6t^5\bigr).
Como 3t^2 e 6t^5 são polinômios, eles existem e são contínuos em todo \mathbb{R}. Logo \gamma é de classe C^1 em [-1,1].

Passo 3

Uma curva é regular se \gamma'(t)\neq(0,0) para todo t do domínio. Aqui
\gamma'(t) = (3t^2,6t^5) = (0,0) \quad\Longleftrightarrow\quad t=0.
Portanto em t=0 temos \gamma'(0)=(0,0), ou seja, a curva falha em ser regular nesse ponto. Logo C não é regular.

Passo 4

Para eliminar o parâmetro observamos que
y = t^6 = (t^3)^2 = x^2.
Assim o traço é a porção da parábola
y = x^2,
com x = t^3 variando em [-1,1], ou seja, o ramo da parábola entre os pontos (-1,1) e (1,1).
O esboço é simplesmente a parábola voltada para cima, cortando o eixo x na origem, restrita a -1\le x\le1.

Resposta

(a) Sim, \gamma é de classe C^1.
(b) Não, pois \gamma'(0)=(0,0).
(c) Eliminando o parâmetro obtém-se
y = x^2,\quad x\in[-1,1],
ou seja, o ramo da parábola y=x^2 entre (-1,1) e (1,1).

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