As equações paramétricas para a trocóide săo x=a t-b \operatorname{sen} t e y=a-b \cos t
Mostre que essa curva não tem reta tangente vertical se a>b>0.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas da trocóide
x = a\,t - b\sin t, \quad y = a - b\cos t,
com a>b>0, e pede para mostrar que não há reta tangente vertical. Vamos usar derivadas paramétricas para x(t) e y(t).

Passo 2

Uma reta tangente vertical ocorre exatamente quando
\frac{dx}{dt} = 0 \quad\text{e}\quad \frac{dy}{dt}\neq0.
Logo, basta verificar o sinal de \tfrac{dx}{dt}.

Passo 3

Calculamos as derivadas em relação a t:
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(a\,t - b\sin t\bigr) = a - b\cos t,
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(a - b\cos t\bigr) = b\sin t.

Passo 4

Como \cos t\le1 para todo t, temos
\frac{dx}{dt} = a - b\cos t \;\ge\; a - b\cdot1 = a - b \;>\;0.
Portanto \tfrac{dx}{dt} nunca se anula, logo não há ponto em que ocorra reta tangente vertical.

Resposta

A curva não possui reta tangente vertical quando a>b>0.

Exercícios relacionados