Mostre que a inclinação da reta tangente, em t=t_{1}, à ciclóide descrita pelas equações (8) é cotg \frac{1}{2} t_{1}. Deduza, então, que a reta tangente é vertical quando t=2 n \pi, onde n é um inteiro qualquer.

Passo 1

O enunciado nos dá a ciclóide definida por
x = a\,(t - \sin t),
y = a\,(1 - \cos t).
Queremos encontrar a inclinação da reta tangente, isto é
\frac{dy}{dx}
em t = t_{1}, e mostrar que vale \cot\!\bigl(\tfrac12 t_{1}\bigr). Para isso usaremos derivadas paramétricas.

Passo 2

Derivamos x e y em relação a t. Como
x(t) = a\,(t - \sin t),
temos
\frac{dx}{dt} = a\bigl(1 - \cos t\bigr).
E, como
y(t) = a\,(1 - \cos t),
obtém-se
\frac{dy}{dt} = a\,\sin t.

Passo 3

A inclinação da tangente é
\frac{dy}{dx} = \frac{\tfrac{dy}{dt}}{\tfrac{dx}{dt}} = \frac{a\,\sin t}{a\,(1 - \cos t)} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}.

Passo 4

Para simplificar \dfrac{\sin t}{1 - \cos t}, usamos as fórmulas de ângulo-metade:
\sin t = 2\sin\!\bigl(\tfrac t2\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac t2\bigr), \quad 1 - \cos t = 2\sin^2\!\bigl(\tfrac t2\bigr).
Então
\frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{2\sin\!\bigl(\tfrac t2\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac t2\bigr)} {2\sin^2\!\bigl(\tfrac t2\bigr)} = \frac{\cos\!\bigl(\tfrac t2\bigr)}{\sin\!\bigl(\tfrac t2\bigr)} = \cot\!\bigl(\tfrac t2\bigr).
Em t = t_{1}, temos
\frac{dy}{dx}\Big|_{t=t_{1}} = \cot\!\bigl(\tfrac12 t_{1}\bigr).

Passo 5

A reta tangente é vertical sempre que
\frac{dx}{dt} = 0 \;\Longrightarrow\; 1 - \cos t = 0 \;\Longrightarrow\; \cos t = 1 \;\Longrightarrow\; t = 2n\pi,
com n\in\mathbb{Z}. Nesses valores de t, o denominador da inclinação some e a tangente fica vertical.

Resposta

A inclinação da reta tangente em t = t_{1} é \cot\!\bigl(\tfrac12 t_{1}\bigr), e ela é vertical quando t = 2n\pi, com n inteiro.

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