Para as equações a seguir determine os pontos crítico e classifique-os como assintoticamente estável ou instável
\frac{d y}{d t}=y\left(1-\frac{y^{3}}{8}\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial autônoma
\frac{dy}{dt}=y\!\left(1-\frac{y^{3}}{8}\right)
e pede: determinar os pontos críticos (pontos de equilíbrio) e classificá‑los como assintoticamente estáveis ou instáveis.
Informações relevantes fornecidas: a expressão de \frac{dy}{dt} em função de y.
Perguntas a responder: quais são os valores de y tais que \frac{dy}{dt}=0 (pontos críticos), e para cada um deles dizer se é assintoticamente estável ou instável.

Passo 2

Encontrar os pontos críticos resolvendo \frac{dy}{dt}=0. Escrevo a função do lado direito como
f(y)=y\!\left(1-\frac{y^{3}}{8}\right).
Os pontos críticos são as soluções de f(y)=0. Portanto resolvo
y\!\left(1-\frac{y^{3}}{8}\right)=0.
Isto dá duas possibilidades: y=0 ou 1-\frac{y^{3}}{8}=0. Da segunda equação segue
\frac{y^{3}}{8}=1 \quad\Longrightarrow\quad y^{3}=8 \quad\Longrightarrow\quad y=2.
(As outras raízes cúbicas complexas existem, mas não são equilibria reais — aqui só consideramos y\in\mathbb{R}.) Logo os pontos críticos reais são \;y=0\; e \;y=2\;.

Passo 3

Explicar como vamos classificar a estabilidade: usamos a linearização (derivada de f em torno do equilíbrio). A ideia é esta — pequena aula rápida e prática:
  • Se y^* é um equilíbrio, consideramos uma pequena perturbação z(t)=y(t)-y^*. Para z pequeno, a equação fica aproximadamente
\frac{dz}{dt}\approx f'(y^*)\,z.
  • A equação linear \frac{dz}{dt}=\lambda z tem solução z(t)=z(0)\,e^{\lambda t}. Então:
    • se \lambda=f'(y^*)<0, então z(t)\to0 quando t\to+\infty: o equilíbrio é assintoticamente estável (atrai perturbações pequenas);
    • se \lambda=f'(y^*)>0, então z(t) cresce exponencialmente: o equilíbrio é instável;
    • se \lambda=0, a análise linear é inconclusiva e precisamos de ordens superiores.
      Isso vale para equações em uma dimensão e é rápido de aplicar na prova.

Passo 4

Calcular f'(y). Da expressão f(y)=y-\dfrac{y^{4}}{8} temos
f'(y)=\frac{d}{dy}\!\left(y-\frac{y^{4}}{8}\right)=1-\frac{4y^{3}}{8}=1-\frac{y^{3}}{2}.
Agora avalio em cada equilíbrio.

Passo 5

Avaliar f' em y=0 e y=2 e classificar:
  • Em y=0:
f'(0)=1-\frac{0^{3}}{2}=1>0.
Como f'(0)>0, pela linearização o equilíbrio y=0 é instável (pequenas perturbações crescem — soluções saem de 0).
  • Em y=2:
f'(2)=1-\frac{2^{3}}{2}=1-\frac{8}{2}=1-4=-3<0.
Como f'(2)<0, o equilíbrio y=2 é assintoticamente estável (atrai soluções próximas quando t\to+\infty).

Passo 6

Complemento intuitivo com análise de sinais (útil na prova para justificar o comportamento global): escolho pontos teste em cada intervalo da reta real e verifico o sinal de \frac{dy}{dt}=f(y).
  • Para y>2, por exemplo y=3: \;1-\frac{3^{3}}{8}=1-\frac{27}{8}<0, e y>0, então f(y)<0. Assim soluções com y>2 decrescem e tendem para baixo, aproximando‑se de 2.
  • Para 0<y<2, por exemplo y=1: \;1-\frac{1^{3}}{8}=1-\frac{1}{8}>0, e y>0, então f(y)>0. Assim soluções com 0<y<2 crescem em direção a 2.
  • Para y<0, por exemplo y=-1: \;1-\frac{(-1)^{3}}{8}=1-\frac{-1}{8}=1+\frac{1}{8}>0, mas y<0, logo f(y)<0. Assim soluções negativas ficam mais negativas (se afastam de 0). Isso reforça que y=0 é um ponto repulsor (instável), enquanto y=2 atrai valores positivos.

Resposta

y=0: instável.
y=2: assintoticamente estável.

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