Para as equações a seguir determine os pontos crítico e classifique-os como assintoticamente estável ou instável
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial autônoma
e pede: determinar os pontos críticos (pontos de equilíbrio) e classificá‑los como assintoticamente estáveis ou instáveis.
Informações relevantes fornecidas: a expressão de em função de
.
Perguntas a responder: quais são os valores de tais que
(pontos críticos), e para cada um deles dizer se é assintoticamente estável ou instável.
Informações relevantes fornecidas: a expressão de
Perguntas a responder: quais são os valores de
Passo 2
Encontrar os pontos críticos resolvendo
. Escrevo a função do lado direito como
Os pontos críticos são as soluções de
. Portanto resolvo
Isto dá duas possibilidades:
ou
. Da segunda equação segue
(As outras raízes cúbicas complexas existem, mas não são equilibria reais — aqui só consideramos
.) Logo os pontos críticos reais são
e
.
Passo 3
Explicar como vamos classificar a estabilidade: usamos a linearização (derivada de
em torno do equilíbrio). A ideia é esta — pequena aula rápida e prática:
- Se
é um equilíbrio, consideramos uma pequena perturbação . Para pequeno, a equação fica aproximadamente
- A equação linear
tem solução . Então: - se
, então quando : o equilíbrio é assintoticamente estável (atrai perturbações pequenas); - se
, então cresce exponencialmente: o equilíbrio é instável; - se
, a análise linear é inconclusiva e precisamos de ordens superiores.
Isso vale para equações em uma dimensão e é rápido de aplicar na prova.
- se
Passo 4
Calcular
. Da expressão
temos
Agora avalio em cada equilíbrio.
Passo 5
Avaliar
em
e
e classificar:
- Em
:
Como
, pela linearização o equilíbrio
é instável (pequenas perturbações crescem — soluções saem de
).
- Em
:
Como
, o equilíbrio
é assintoticamente estável (atrai soluções próximas quando
).
Passo 6
Complemento intuitivo com análise de sinais (útil na prova para justificar o comportamento global): escolho pontos teste em cada intervalo da reta real e verifico o sinal de
.
- Para
, por exemplo : , e , então . Assim soluções com decrescem e tendem para baixo, aproximando‑se de . - Para
, por exemplo : , e , então . Assim soluções com crescem em direção a . - Para
, por exemplo : , mas , logo . Assim soluções negativas ficam mais negativas (se afastam de ). Isso reforça que é um ponto repulsor (instável), enquanto atrai valores positivos.