Considere as equações
Mostre que se
é solução da equação (1) e
é solução da equação (2), então
é solução de (2), para qualquer constante
.
Passo 1
O enunciado dá duas equações diferenciais de primeira ordem:
e afirma que
é solução de
e
é solução de
.
A tarefa é mostrar que, para qualquer constante , a função
A tarefa é mostrar que, para qualquer constante
é solução da equação
.
Informações relevantes fornecidas: e
são funções dadas (continuidades/intervalo não especificados, mas assumimos o intervalo onde as soluções estão definidas), e temos duas soluções
e
que satisfazem as equações acima.]
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Vamos usar a propriedade de linearidade do operador diferencial
definido por
Primeiro explico por que
é linear (isso é só uma conta direta e muito útil): se
e
são constantes e
,
são funções diferenciáveis, então
porque a derivada é linear (a constante sai da derivada e a derivada de uma soma é soma das derivadas). Também
Somando as duas parcelas obtemos
Isto significa que
respeita combinações lineares com constantes — é o fundamento da superposição.
Passo 3
Agora aplico isso ao caso concreto. Sabemos que
satisfaz
, isto é,
E
satisfaz
, isto é,
Tomemos
com
constante. Usando a linearidade do operador
com
e
e as duas equações acima,
Portanto
ou seja,
satisfaz exatamente a equação
.
Passo 4
Se preferir ver o mesmo raciocínio feito “na unha” sem falar em operadores: calcule explicitamente a derivada
e então
Como
e
, o lado direito vira
. Mesmo resultado, só que feito passo a passo das derivadas.
Passo 5
Interpretação prática (dica para prova): para uma equação linear de primeira ordem a solução geral da equação não-homogênea é a soma de uma solução particular (
) com a solução geral da homogênea (
). O que provamos foi exatamente essa propriedade de superposição: multiplicar a solução homogênea por uma constante e somar à particular gera outra solução particular (na verdade gera toda a família de soluções não-homogêneas quando
representa a solução fundamental da homogênea).