Considere as equações
\begin{gathered} \frac{d y}{d t}+p(t) y=0 \\\ \frac{d y}{d t}+p(t) y=q(t) \end{gathered}
Mostre que se y_{1}(t) é solução da equação (1) e y_{2}(t) é solução da equação (2), então y(t)= c y_{1}(t)+y_{2}(t) é solução de (2), para qualquer constante c.

Passo 1

O enunciado dá duas equações diferenciais de primeira ordem:
\begin{gathered} (1)\quad \frac{d y}{d t}+p(t)\,y=0,\\[4pt] (2)\quad \frac{d y}{d t}+p(t)\,y=q(t), \end{gathered}
e afirma que y_{1}(t) é solução de (1) e y_{2}(t) é solução de (2).
A tarefa é mostrar que, para qualquer constante c, a função
y(t)=c\,y_{1}(t)+y_{2}(t)
é solução da equação (2).
Informações relevantes fornecidas: p(t) e q(t) são funções dadas (continuidades/intervalo não especificados, mas assumimos o intervalo onde as soluções estão definidas), e temos duas soluções y_{1} e y_{2} que satisfazem as equações acima.]

Passo 2

Vamos usar a propriedade de linearidade do operador diferencial L definido por
L[y]=\frac{d y}{d t}+p(t)\,y.
Primeiro explico por que L é linear (isso é só uma conta direta e muito útil): se a e b são constantes e u(t), v(t) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dt}\big(a\,u+b\,v\big)=a\,\frac{du}{dt}+b\,\frac{dv}{dt}
porque a derivada é linear (a constante sai da derivada e a derivada de uma soma é soma das derivadas). Também
p(t)\big(a\,u+b\,v\big)=a\,p(t)u+b\,p(t)v.
Somando as duas parcelas obtemos
L[a\,u+b\,v]=a\,L[u]+b\,L[v].
Isto significa que L respeita combinações lineares com constantes — é o fundamento da superposição.

Passo 3

Agora aplico isso ao caso concreto. Sabemos que y_{1} satisfaz (1), isto é,
L[y_{1}]=\frac{d y_{1}}{dt}+p(t)\,y_{1}=0.
E y_{2} satisfaz (2), isto é,
L[y_{2}]=\frac{d y_{2}}{dt}+p(t)\,y_{2}=q(t).
Tomemos y(t)=c\,y_{1}(t)+y_{2}(t) com c constante. Usando a linearidade do operador L com a=c e b=1 e as duas equações acima,
L[y]=L[c\,y_{1}+y_{2}]=c\,L[y_{1}]+L[y_{2}]=c\cdot 0+q(t)=q(t).
Portanto
\frac{d y}{dt}+p(t)\,y=q(t),
ou seja, y satisfaz exatamente a equação (2).

Passo 4

Se preferir ver o mesmo raciocínio feito “na unha” sem falar em operadores: calcule explicitamente a derivada
\frac{d y}{dt}=c\,\frac{d y_{1}}{dt}+\frac{d y_{2}}{dt},
e então
\frac{d y}{dt}+p(t)\,y=c\Big(\frac{d y_{1}}{dt}+p(t)\,y_{1}\Big)+\Big(\frac{d y_{2}}{dt}+p(t)\,y_{2}\Big).
Como \frac{d y_{1}}{dt}+p(t)\,y_{1}=0 e \frac{d y_{2}}{dt}+p(t)\,y_{2}=q(t), o lado direito vira c\cdot 0 + q(t)=q(t). Mesmo resultado, só que feito passo a passo das derivadas.

Passo 5

Interpretação prática (dica para prova): para uma equação linear de primeira ordem a solução geral da equação não-homogênea é a soma de uma solução particular ( y_{2}) com a solução geral da homogênea ( c\,y_{1}). O que provamos foi exatamente essa propriedade de superposição: multiplicar a solução homogênea por uma constante e somar à particular gera outra solução particular (na verdade gera toda a família de soluções não-homogêneas quando y_{1} representa a solução fundamental da homogênea).

Resposta

\;y(t)=c\,y_{1}(t)+y_{2}(t)

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