Mostre que
se
é solução da equação, então
também é solução, para qualquer constante
.
se
Passo 1
O enunciado dá que existe uma equação diferencial (homogênea, linear) de ordem
da forma
onde cada
é uma função dada dos reais (ou do intervalo considerado) e
denota a derivada
-ésima de
em relação a
. O que nos é informado é que
satisfaz essa equação (ou seja, é uma solução). A tarefa é mostrar que, para qualquer constante
, a função
também satisfaz a equação. Aqui
é uma constante real (ou complexa, conforme o contexto), e deve ser entendida como independente de
.
Passo 2
Vamos explicitar o que significa “ser solução”: dizer que
é solução quer dizer que, ao substituir
e suas derivadas na expressão à esquerda da equação, obtemos zero:
para todo
no domínio considerado. O objetivo é provar que a mesma igualdade ocorre quando substituímos
.
Passo 3
Primeiro precisamos usar uma propriedade básica do cálculo: a derivada é linear em relação a multiplicação por constante. Ou seja, para qualquer constante
e função diferenciável
vale
Uma demonstração curta dessa identidade vem da definição da derivada:
pois
sai da fração por ser constante. Essa é a base do raciocínio.
Passo 4
Agora estendemos a propriedade do passo anterior às derivadas de ordem superior por indução. Mostrando a ideia completa:
- Para
já temos . - Suponha válida para
: . - Então para
,
usando a hipótese de indução e a linearidade da derivada. Logo, por indução,
lembrando que para
isso significa
.
Passo 5
Substituímos essas expressões na equação diferencial original aplicando-a à função
. O lado esquerdo da equação avaliado em
fica
Como
é constante, podemos fatorá-lo em todas as parcelas:
Passo 6
Mas pelo fato de
ser solução (passo 2), sabemos que o parêntese acima é igual a zero para todo
. Portanto a expressão inteira é
Isso mostra que a função
também satisfaz a equação diferencial para qualquer constante
.
Passo 7
Comentários finais e intuição: o que fizemos foi usar a linearidade do operador diferencial (o operador que manda
em
é linear) — portanto multiplicar uma solução por uma constante produz outra solução. Observação importante: se
obtemos a solução trivial
. Se
, obtemos uma solução que é simplesmente um múltiplo escalar da solução dada. Um exemplo concreto rápido: para a equação de primeira ordem
se
é solução então