Equaçōes de Segunda Ordem ( 
  e 
  constantes)
(0.5) a) Considere a equação 
 , explique o porquê de ser natural supor que as soluções da equaçâo tenham a forma 
  e mostre que esta suposição converte a equação diferencial em uma equação algébrica do segundo grau.
(0.5) a) Considere a equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a equação diferencial de segunda ordem 
 . O conteúdo envolvido aqui é de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos supor que as soluções têm a forma 
 , e vamos mostrar como essa suposição transforma a equação diferencial em uma equação algébrica de segundo grau.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que a gente assume que a solução tem a forma 
 . Em equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, as funções exponenciais costumam ser soluções naturais porque, ao derivarmos uma exponencial, a forma funcional não muda, apenas multiplica por uma constante. Isso simplifica bastante a resolução.
Passo 3
Agora, vamos assumir que 
 . Com essa suposição, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de 
 :
Passo 4
Substituindo 
 , 
  e 
  na equação diferencial original:
Passo 5
Fatorando 
  que é comum em todos os termos:
Passo 6
Como 
  nunca é zero para nenhum valor real de 
  e 
 , a única maneira da equação ser satisfeita é se o que está dentro dos parênteses for igual a zero:
Resposta
Ao assumir 
 , a equação diferencial 
  se transforma na equação algébrica de segundo grau 
 .