(a) As equações simétricas da reta r1 que passa por A(2,0,0) e tem direção v=(4,5,3).
(b) O valor de n, para que seja de 45^circ o ângulo entre a reta r1, obtida no ítem anterior, e a reta r2:ly=n x+5 z=2 x-2

Passo 1

O enunciado pede em (a) as equações simétricas da reta
ser de ; (ii) para o ângulo entre duas retas com vetores direção e ,

Passo 2

Como r1 passa por A(2,0,0) e vec v=(4,5,3), suas equações simétricas são
x - 24 ;=;y - 05;=;z - 03,

Passo 3

Para r2, escolhemos o parâmetro t=x. Então
x = t, y = n,t + 5, z = 2,t - 2,
de onde o vetor direção de r2 é vec w = (1,,n,,2).

Passo 4

O ângulo entre r1 e r2 satisfaz
cos 45^circ = l|vec vcdot vec wr|lVert vec vrVert,lVert vec wrVert com vec v=(4,5,3),;vec w=(1,n,2),;cos45^circ=raiz22

Passo 5

Calculamos
vec vcdot vec w = 4cdot1 + 5cdot n + 3cdot2 = 5n + 10,
lVert vec vrVert = raiz4^2+5^2+3^2 = raiz50 = 5raiz2, lVert vec wrVert = raiz1^2 + n^2 + 2^2 = raizn^2 + 5
Assim a condição l|vec vcdotvec wr|/(,lVert vec vrVert,lVert vec wrVert)=raiz2/2 vira
lvert 5n + 10rvert5raiz2,raizn^2+5 = raiz22 ;Longrightarrow; lvert n + 2rvert = raizn^2 + 5

Passo 6

Elevando ao quadrado:
(n+2)^2 = n^2 + 5 Longrightarrow n^2 + 4n + 4 = n^2 + 5 Longrightarrow 4n = 1 Longrightarrow n = tfrac14
Verificamos que lverttfrac14+2rvert = 9/4 e raiz(tfrac14)^2+5 = raiz5,0625=2,25=9/4, OK.

Resposta

(a) x-24=y5=z3
(b) n=tfrac14

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