(a) As equações reduzidas na variável z da reta r que passa por A(2,3,4) e tem direção v=(5,-1,1).
(b) Determine o valor de m de modo que os planos pi1: m x+y-3 z-1=0 e pi2: 2 x-3 m y+4 z+1=0 sejam perpendiculares.

Passo 1

O enunciado envolve duas partes de geometria analítica em R^3:
– (a) achar as equações reduzidas na variável z de uma reta r que passa por A(2,3,4) e tem direção vec v=(5,-1,1).
– (b) determinar m para que os planos
pi1: m x + y - 3 z - 1 = 0
pi2: 2 x - 3m,y + 4 z + 1 = 0
sejam perpendiculares.
Para (a) vamos usar a forma paramétrica da reta e resolver em função de z. Para (b) usaremos que duas retas (ou planos) são perpendiculares quando seus vetores normais têm produto escalar zero.

Passo 2

Escrevemos primeiro a forma paramétrica de r usando parâmetro t:
x = 2 + 5t, y = 3 - t, z = 4 + t

Passo 3

Para obter as equações reduzidas na variável z, isolamos t da equação de z:
t = z - 4
Substituindo em x e y
x = 2 + 5(z - 4) = 5z - 18,
y = 3 - (z - 4) = -,z + 7
Logo, as equações reduzidas em função de z são
x = 5z - 18, y = -z + 7

Passo 4

Nos planos pi1 e pi2, os vetores normais são
vec n1 = (m,,1,,-3), vec n2 = (2,,-3m,,4)
Para que pi1perp pi2, precisa valer vec n1cdot vec n2=0.

Passo 5

Calculamos o produto escalar e igualamos a zero:
vec n1cdot vec n2 = mcdot2 ;+;1cdot(-3m);+;(-3)cdot4 = 2m - 3m - 12 = -m - 12 = 0
Daí
-m - 12 = 0 Longrightarrow m = -12

Resposta

(a) x = 5z - 18,;y = -z + 7
(b) m = -12

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