(i) Considere os pontos A=(0,0,0), B=(1,1,-1), C=(2,-5,1), D=(1,-2,0) e os vetores u=A B, v=A C e w=A D. Calcule o volume do paralelepípedo definido por esses vetores.

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores u=AB, v=AC e w=AD. Na prática, esse volume é o valor absoluto do produto misto desses vetores, ou seja
V = l|det[u,v,w]r| = l|ucdot(vtimesw)r|

Passo 2

Como A=(0,0,0), basta subtrair coordenadas para obter
u = B - A = (1,1,-1), v = C - A = (2,-5,1), w = D - A = (1,-2,0)

Passo 3

Vamos calcular vtimesw pelo determinante
vtimesw = i & j & k [6pt] 2 & -5 & 1 [3pt] 1 & -2 & 0 = l((-5)cdot0 - 1cdot(-2)r)i - l(2cdot0 - 1cdot1r)j + l(2cdot(-2) - (-5)cdot1r)k = 2,i + 1,j + 1,k
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vtimesw = (2,1,1) ]

Passo 4

Agora o produto misto é
ucdot(vtimesw) = (1,1,-1)cdot(2,1,1) = 1cdot2 + 1cdot1 + (-1)cdot1 = 2 + 1 - 1 = 2
Portanto, o volume do paralelepípedo é
V = l|ucdot(vtimesw)r| = |2| = 2

Resposta

O volume do paralelepípedo é 2.

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