Equilíbrio e Elasticidade: considere um bloco de massa M sustentado por uma cabo de aço enrolada com três voltas e meia em torno de uma barra horizontal. Sabendo que o coeficiente de atrito estático entre a corda e a barra é
. Então:
a) Mostre que a tensão em um fio enrolado é;
Onde
é o coeficiente de atrito estático e
é o ângulo correspondente a volta da corda sobre a barra (
);
b) Quantas voltas são necessárias para que o capaz seja capaz de suportar uma carga de 137 kg ; Indique qual é a tensão máxima que ele é capaz de suportar;
c) Determine faixa de valores de
em que o equilíbrio é mantido;
d) Qual é a deformação do cabo devido a tensão sofrida, considere um diâmetro de 15 mm .
a) Mostre que a tensão em um fio enrolado é;
b) Quantas voltas são necessárias para que o capaz seja capaz de suportar uma carga de 137 kg ; Indique qual é a tensão máxima que ele é capaz de suportar;
c) Determine faixa de valores de
d) Qual é a deformação do cabo devido a tensão sofrida, considere um diâmetro de 15 mm .
Passo 1
O que o enunciado pede (resumido em itens claros):
- (a) Mostrar a relação entre as tensões nas duas extremidades de um cabo enrolado numa barra: pedido de provar a fórmula envolvendo
e . - (b) Determinar quantas voltas são necessárias para que o sistema suporte uma carga de
e indicar a tensão máxima que pode ser suportada (interpretei “tensão máxima que ele é capaz de suportar” como a máxima tensão do lado da carga que pode ser mantida para uma dada força aplicada no extremo livre). - (c) Determinar a faixa de valores da força
(força no extremo livre) que mantém o equilíbrio para a carga dada. - (d) Calcular a deformação do cabo submetido à tensão (diâmetro do cabo
foi dado); como falta o comprimento do cabo e o módulo de Young, será dado o alongamento por metro e será assumido um valor típico de módulo de Young para aço quando necessário (isso será explicitado quando usado).
Informações numéricas e condições dadas (lista das informações relevantes do enunciado):
- Coeficiente de atrito estático:
. - Número de voltas no exemplo da figura:
voltas (isto corresponde a um ângulo total ). - Massa a suportar em (b)/(c)/(d):
. - Diâmetro do cabo para (d):
. - Aceleração da gravidade (usar):
. - Observação: a figura mostra que um extremo do cabo sustenta a massa (tensão grande, chamar de
) e o outro extremo vertical tem força (tensão menor, chamar de ). Foi tomada a convenção do lado da carga (maior) e do lado onde se aplica .
Passo 2
Derivação passo a passo (didática) da relação entre as tensões — equação do capstan (caso estático, limite de atrito).
-
Ideia geral e hipótese: considerar um pequeno elemento do cabo em contato com a barra que subtende um ângulo infinitesimal
. Suponha que a tensão no início desse elemento seja e, por virar um pouco ao longo da superfície, no fim do elemento a tensão seja . Estamos no limite estático, isto é, o atrito tangencial máximo sobre o elemento vale vezes a força normal sobre esse elemento. -
Forças no pequeno elemento (desenho mental): existem duas tensões inclinadas nos extremos (direção tangencial), a força normal distribuída pela barra e a força de atrito ao longo do contato. Para o equilíbrio do elemento, projetamos forças na direção tangencial (sentido do cabo).
-
Força normal sobre o elemento: a componente radial das tensões nos dois extremos dá, em primeira ordem em
, uma força normal diferencial igual a . Intuição: quanto maior for a tensão e quanto maior o ângulo, maior a pressão normal que o cabo exerce sobre a barra; para pequeno a contribuição radial soma-se como . -
Força de atrito máxima sobre o elemento:
O atrito age tangencialmente contrariando a variação de tensão. -
Equilíbrio tangencial do elemento: a soma das forças tangenciais deve ser nula:
Substituindo
obtém-se
- Separar variáveis e integrar:
Integrando entre as duas extremidades do contato: para variando de a e de (extremo fraco) até (extremo forte),
- Exponenciando:
Comentário final sobre sinais: essa expressão mostra que, no limite estático, a tensão cresce exponencialmente no sentido da volta. Equivalentemente
. A fórmula mais usada é
quando
é a tensão maior (lado da carga).
Passo 3
Aplicação numérica da fórmula com as informações dadas (3,5 voltas e
).
- Ângulo total para
voltas:
- Exponencial:
Interpretação: com
voltas e
a tensão do lado da carga é aproximadamente
vezes a tensão que se aplica no extremo livre. Portanto um
pequeno pode segurar uma carga grande.
Passo 4
Resposta do item (b) — quantas voltas são necessárias para suportar
e expressão da tensão máxima suportada (quando se conhece
).
- Relação geral para o número de voltas
(cada volta tem ângulo ): seja (tensão no lado da carga em equilíbrio) e (tensão equivalente à força aplicada no extremo livre). Da equação do capstan,
Tomando logaritmo,
Essa fórmula diz diretamente quantas voltas são necessárias para que uma força
no extremo livre segure uma massa
.
- Exemplos numéricos (para dar intuição; escolho alguns valores de
representativos — não fornecidos no enunciado):
- Para
temos - Se
então
- Se
: - Se
:
- Tensão máxima que pode ser suportada para um dado
e número de voltas : rearranjando a equação,
Exemplo com as
voltas do enunciado e
:
que corresponde a uma massa
Observação: como o enunciado não especificou uma força máxima
que o utilizador aplica, deixei a resposta em forma de fórmula e dei exemplos numéricos típicos para ilustrar.
Passo 5
Resposta do item (c) — faixa de valores de
para que o equilíbrio seja mantido (situação de não deslizamento, ambos os sentidos).
- Condições: para que o sistema não deslize nem para baixo nem para cima, a tensão do lado do aplicador
deve satisfazer (usando a mesma equação com expoente positivo e negativo):
Substituindo
e
,
Isto significa que enquanto
estiver dentro dessa faixa o cabo permanece em equilíbrio estático (o atrito impede o deslizamento em ambos os sentidos).
- Valor numérico para
e ( voltas):
-
-
Logo
Interpretação física: para o conjunto de
voltas, qualquer
entre aproximadamente
e
mantém o equilíbrio estático (abaixo de
o bloco cai; acima de
o bloco sobe).
Passo 6
Resposta do item (d) — deformação do cabo devido à tensão (cálculos detalhados e suposições explícitas).
- Área da seção transversal do cabo (círculo, diâmetro
):
-
Tensão (força axial) considerada: a tensão máxima no cabo (lado da carga) em equilíbrio é
-
Tensão mecânica (stress) e deformação (strain):
Assumindo módulo de Young típico para aço (valor usual)
, a deformação é
- Alongamento por unidade de comprimento e alongamento para um comprimento
:
- Alongamento por metro (ou seja, para
):
- Em geral, para um comprimento
:
Observações finais sobre (d): usei
(aço); se o cabo for de outro material (corda têxtil, cabo de fibras, etc.) o módulo muda e o resultado muda proporcionalmente. Também observe que se a tensão real ao longo do cabo variar (devido às voltas) a deformação local varia; aqui calculei com a tensão máxima
para dar o caso conservador (máximo alongamento).
Resposta
(a)
(equivalentemente
).
(b) . Com
voltas e
tem-se
. A tensão máxima que se pode suportar para uma dada
é
(ex.: com
voltas e
,
, equivalente a
).
(c) Faixa de para equilíbrio:
. Para
e
voltas:
e
(d) Área . Com
e
(aço),
e alongamento por metro
. (Para comprimento
:
.)
(b)
(c) Faixa de
(d) Área