Equilíbrio e Elasticidade: considere um bloco de massa M sustentado por uma cabo de aço enrolada com três voltas e meia em torno de uma barra horizontal. Sabendo que o coeficiente de atrito estático entre a corda e a barra é \mu=0,22. Então:
a) Mostre que a tensão em um fio enrolado é;
\frac{T_{1}}{T_{2}}=e^{\mu \theta}
Onde \mu é o coeficiente de atrito estático e \theta é o ângulo correspondente a volta da corda sobre a barra ( T_{2}>T_{1} );
b) Quantas voltas são necessárias para que o capaz seja capaz de suportar uma carga de 137 kg ; Indique qual é a tensão máxima que ele é capaz de suportar;
c) Determine faixa de valores de F em que o equilíbrio é mantido;
d) Qual é a deformação do cabo devido a tensão sofrida, considere um diâmetro de 15 mm .

Passo 1

O que o enunciado pede (resumido em itens claros):
  • (a) Mostrar a relação entre as tensões nas duas extremidades de um cabo enrolado numa barra: pedido de provar a fórmula envolvendo \mu e \theta.
  • (b) Determinar quantas voltas são necessárias para que o sistema suporte uma carga de 137\\ \text{kg} e indicar a tensão máxima que pode ser suportada (interpretei “tensão máxima que ele é capaz de suportar” como a máxima tensão do lado da carga que pode ser mantida para uma dada força aplicada no extremo livre).
  • (c) Determinar a faixa de valores da força F (força no extremo livre) que mantém o equilíbrio para a carga dada.
  • (d) Calcular a deformação do cabo submetido à tensão (diâmetro do cabo d=15\\ \text{mm} foi dado); como falta o comprimento do cabo e o módulo de Young, será dado o alongamento por metro e será assumido um valor típico de módulo de Young para aço quando necessário (isso será explicitado quando usado).
Informações numéricas e condições dadas (lista das informações relevantes do enunciado):
  • Coeficiente de atrito estático: \mu=0{,}22.
  • Número de voltas no exemplo da figura: 3{,}5 voltas (isto corresponde a um ângulo total \theta=3{,}5\cdot 2\pi).
  • Massa a suportar em (b)/(c)/(d): m=137\\ \text{kg}.
  • Diâmetro do cabo para (d): d=15\\ \text{mm}=0{,}015\\ \text{m}.
  • Aceleração da gravidade (usar): g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.
  • Observação: a figura mostra que um extremo do cabo sustenta a massa (tensão grande, chamar de T_2) e o outro extremo vertical tem força F (tensão menor, chamar de T_1). Foi tomada a convenção T_2 do lado da carga (maior) e T_1 do lado onde se aplica F.

Passo 2

Derivação passo a passo (didática) da relação entre as tensões — equação do capstan (caso estático, limite de atrito).
  1. Ideia geral e hipótese: considerar um pequeno elemento do cabo em contato com a barra que subtende um ângulo infinitesimal \mathrm{d}\theta. Suponha que a tensão no início desse elemento seja T e, por virar um pouco ao longo da superfície, no fim do elemento a tensão seja T+\mathrm{d}T. Estamos no limite estático, isto é, o atrito tangencial máximo sobre o elemento vale \mu vezes a força normal sobre esse elemento.
  2. Forças no pequeno elemento (desenho mental): existem duas tensões inclinadas nos extremos (direção tangencial), a força normal distribuída pela barra e a força de atrito ao longo do contato. Para o equilíbrio do elemento, projetamos forças na direção tangencial (sentido do cabo).
  3. Força normal sobre o elemento: a componente radial das tensões nos dois extremos dá, em primeira ordem em \mathrm{d}\theta, uma força normal diferencial \mathrm{d}N igual a T\,\mathrm{d}\theta. Intuição: quanto maior for a tensão e quanto maior o ângulo, maior a pressão normal que o cabo exerce sobre a barra; para pequeno \mathrm{d}\theta a contribuição radial soma-se como T\,\mathrm{d}\theta.
  4. Força de atrito máxima sobre o elemento: \mathrm{d}F_{\text{atrito}} = \mu\,\mathrm{d}N = \mu T\,\mathrm{d}\theta. O atrito age tangencialmente contrariando a variação de tensão.
  5. Equilíbrio tangencial do elemento: a soma das forças tangenciais deve ser nula:
(T+\mathrm{d}T) - T - \mathrm{d}F_{\text{atrito}} = 0 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{d}T = \mathrm{d}F_{\text{atrito}}.
Substituindo \mathrm{d}F_{\text{atrito}} obtém-se
\mathrm{d}T = \mu\,T\,\mathrm{d}\theta.
  1. Separar variáveis e integrar: \dfrac{\mathrm{d}T}{T} = \mu\,\mathrm{d}\theta. Integrando entre as duas extremidades do contato: para \theta variando de 0 a \theta e T de T_1 (extremo fraco) até T_2 (extremo forte),
\int_{T_1}^{T_2}\frac{\mathrm{d}T}{T}=\mu\int_{0}^{\theta}\mathrm{d}\theta \quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=\mu\,\theta.
  1. Exponenciando:
\boxed{\frac{T_2}{T_1}=e^{\mu\theta}.}
Comentário final sobre sinais: essa expressão mostra que, no limite estático, a tensão cresce exponencialmente no sentido da volta. Equivalentemente \dfrac{T_1}{T_2}=e^{-\mu\theta}. A fórmula mais usada é \dfrac{T_2}{T_1}=e^{\mu\theta} quando T_2 é a tensão maior (lado da carga).

Passo 3

Aplicação numérica da fórmula com as informações dadas (3,5 voltas e \mu=0{,}22).
  1. Ângulo total para 3{,}5 voltas:
\theta = 3{,}5\cdot 2\pi = 7\pi\\ \text{rad}\approx 21{,}991\\ \text{rad}.
  1. Exponencial:
\mu\theta = 0{,}22 \cdot 7\pi \approx 4{,}838.
\frac{T_2}{T_1}=e^{\mu\theta}\approx e^{4{,}838}\approx 1{,}264\times 10^{2}\approx 126{,}4.
Interpretação: com 3{,}5 voltas e \mu=0{,}22 a tensão do lado da carga é aproximadamente 126{,}4 vezes a tensão que se aplica no extremo livre. Portanto um F pequeno pode segurar uma carga grande.

Passo 4

Resposta do item (b) — quantas voltas são necessárias para suportar m=137\\ \text{kg} e expressão da tensão máxima suportada (quando se conhece F).
  1. Relação geral para o número de voltas n (cada volta tem ângulo 2\pi): seja T_2=mg (tensão no lado da carga em equilíbrio) e T_1=F (tensão equivalente à força aplicada no extremo livre). Da equação do capstan,
\frac{mg}{F}=e^{\mu\theta}=e^{\mu(2\pi n)}.
Tomando logaritmo,
\boxed{n=\frac{1}{2\pi\mu}\ln\!\left(\frac{mg}{F}\right).}
Essa fórmula diz diretamente quantas voltas são necessárias para que uma força F no extremo livre segure uma massa m.
  1. Exemplos numéricos (para dar intuição; escolho alguns valores de F representativos — não fornecidos no enunciado):
  • Para m=137\\ \text{kg} temos mg=137\cdot 9{,}81\approx 1\,344\\ \text{N}.
  • Se F=100\\ \text{N} então
n=\frac{1}{2\pi\cdot 0{,}22}\ln\!\left(\frac{1\,344}{100}\right) \approx\frac{1}{1{,}3823}\ln(13{,}44)\approx\frac{2{,}599}{1{,}3823}\approx 1{,}88\\ \text{voltas}.
  • Se F=50\\ \text{N}: n\approx 2{,}38\\ \text{voltas}.
  • Se F=200\\ \text{N}: n\approx 1{,}38\\ \text{voltas}.
  1. Tensão máxima que pode ser suportada para um dado F e número de voltas n: rearranjando a equação,
\boxed{T_{2,\max}=F\,e^{\mu(2\pi n)}}.
Exemplo com as 3{,}5 voltas do enunciado e F=100\\ \text{N}:
T_{2,\max}=100\cdot 126{,}4\approx 1{,}264\times10^{4}\\ \text{N},
que corresponde a uma massa \approx \dfrac{1{,}264\times10^{4}}{9{,}81}\approx 1{,}288\\ \times 10^{2}\\ \text{kg}\approx 1\,288\\ \text{kg}.
Observação: como o enunciado não especificou uma força máxima F que o utilizador aplica, deixei a resposta em forma de fórmula e dei exemplos numéricos típicos para ilustrar.

Passo 5

Resposta do item (c) — faixa de valores de F para que o equilíbrio seja mantido (situação de não deslizamento, ambos os sentidos).
  1. Condições: para que o sistema não deslize nem para baixo nem para cima, a tensão do lado do aplicador F deve satisfazer (usando a mesma equação com expoente positivo e negativo):
T_2 e^{-\mu\theta}\le T_1 \le T_2 e^{\mu\theta}.
Substituindo T_1=F e T_2=mg,
\boxed{mg\,e^{-\mu\theta}\le F\le mg\,e^{\mu\theta}.}
Isto significa que enquanto F estiver dentro dessa faixa o cabo permanece em equilíbrio estático (o atrito impede o deslizamento em ambos os sentidos).
  1. Valor numérico para m=137\\ \text{kg} e \theta=7\pi ( 3{,}5 voltas):
  • mg\approx 1\,344\\ \text{N}.
  • e^{\mu\theta}\approx 126{,}4. Logo
F_{\min}=1\,344\cdot e^{-4{,}838}\approx \frac{1\,344}{126{,}4}\approx 10{,}6\\ \text{N},
F_{\max}=1\,344\cdot 126{,}4\approx 1{,}70\times 10^{5}\\ \text{N}.
Interpretação física: para o conjunto de 3{,}5 voltas, qualquer F entre aproximadamente 10{,}6\\ \text{N} e 1{,}70\cdot 10^{5}\\ \text{N} mantém o equilíbrio estático (abaixo de 10{,}6\\ \text{N} o bloco cai; acima de 1{,}70\cdot 10^{5}\\ \text{N} o bloco sobe).

Passo 6

Resposta do item (d) — deformação do cabo devido à tensão (cálculos detalhados e suposições explícitas).
  1. Área da seção transversal do cabo (círculo, diâmetro d=0{,}015\\ \text{m}):
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}015)^{2}}{4}=\pi\cdot 5{,}625\times 10^{-5}\\ \text{m}^2\approx 1{,}767\times 10^{-4}\\ \text{m}^2.
  1. Tensão (força axial) considerada: a tensão máxima no cabo (lado da carga) em equilíbrio é T_2=mg\approx 1\,344\\ \text{N}.
  2. Tensão mecânica (stress) e deformação (strain):
\sigma=\frac{T_2}{A}\approx\frac{1\,344}{1{,}767\times 10^{-4}}\approx 7{,}61\times 10^{6}\\ \text{Pa}=7{,}61\\ \text{MPa}.
Assumindo módulo de Young típico para aço (valor usual) E=2{,}10\times 10^{11}\\ \text{Pa}, a deformação é
\epsilon=\frac{\sigma}{E}\approx\frac{7{,}61\times 10^{6}}{2{,}10\times 10^{11}}\approx 3{,}62\times 10^{-5}.
  1. Alongamento por unidade de comprimento e alongamento para um comprimento L:
  • Alongamento por metro (ou seja, para L=1\\ \text{m}):
\delta_{1\\ \text{m}}=\epsilon\cdot 1\\ \text{m}\approx 3{,}62\times 10^{-5}\\ \text{m}=0{,}0362\\ \text{mm}.
  • Em geral, para um comprimento L:
\boxed{\delta = \epsilon\,L = \frac{T_2}{A E}\,L.}
Observações finais sobre (d): usei E=2{,}10\times10^{11}\\ \text{Pa} (aço); se o cabo for de outro material (corda têxtil, cabo de fibras, etc.) o módulo muda e o resultado muda proporcionalmente. Também observe que se a tensão real ao longo do cabo variar (devido às voltas) a deformação local varia; aqui calculei com a tensão máxima T_2 para dar o caso conservador (máximo alongamento).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{T_2}{T_1}=e^{\mu\theta} \; (equivalentemente \displaystyle \frac{T_1}{T_2}=e^{-\mu\theta}).
(b) \displaystyle n=\frac{1}{2\pi\mu}\ln\!\left(\frac{mg}{F}\right). Com 3{,}5 voltas e \mu=0{,}22 tem-se \dfrac{T_2}{T_1}\approx 126{,}4. A tensão máxima que se pode suportar para uma dada F é \displaystyle T_{2,\max}=F\,e^{\mu(2\pi n)} (ex.: com 3{,}5 voltas e F=100\\ \text{N}, T_{2,\max}\approx 1{,}264\times10^{4}\\ \text{N}, equivalente a \approx 1\,288\\ \text{kg}).
(c) Faixa de F para equilíbrio: \displaystyle mg\,e^{-\mu\theta}\le F\le mg\,e^{\mu\theta}. Para m=137\\ \text{kg} e 3{,}5 voltas: F_{\min}\approx 10{,}6\\ \text{N} e F_{\max}\approx 1{,}70\times10^{5}\\ \text{N}.
(d) Área A\approx 1{,}767\times10^{-4}\\ \text{m}^2. Com T_2=mg\approx 1{,}344\\ \text{N} e E=2{,}10\times10^{11}\\ \text{Pa} (aço), \epsilon\approx 3{,}62\times10^{-5} e alongamento por metro \delta_{1\\ \text{m}}\approx 3{,}62\times10^{-5}\\ \text{m}=0{,}0362\\ \text{mm}. (Para comprimento L: \delta=\dfrac{T_2}{A E}\,L.)

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