3- Em equilíbrio, sob pressão de 1 atm e temperatura ambiente, a água apresenta uma concentração de saturação de oxigênio de 8 \mathrm{mgO}_{2} / \mathrm{L}. Suponha um caldo fermentativo com uma produção de levedura com concentração de 20 \mathrm{~g} / \mathrm{L} de biomassa com uma velocidade específica de respiração de de 0,3 \mathrm{gO}_{2} / \mathrm{g}_{\text {células }} . \mathrm{h}é. Qual a demanda de oxigênio? Quantas vezes a demanda é maior que a solubilidade de oxigênio neste sistema?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a demanda de oxigênio no caldo fermentativo (ou seja, quantos gramas de \mathrm{O}_2 são consumidos por litro por hora).
  • Calcular quantas vezes essa demanda é maior que a solubilidade de oxigênio no sistema.
Informações dadas (vou listar exatamente como estão no enunciado):
  • Concentração de saturação (solubilidade) de oxigênio: 8\\ \mathrm{mg\\ O_2}/\mathrm{L}.
  • Concentração de biomassa (levedura): 20\\ \mathrm{g\\ células}/\mathrm{L}é.
  • Velocidade específica de respiração: 0,3\\ \mathrm{g\\ O_2}/(\mathrm{g\\ células}\cdot\mathrm{h})é.

Passo 2

Entendendo o que significa a velocidade específica de respiração e como transformar isso numa demanda volumétrica.
  • A velocidade específica de respiração q_O indica quanto de oxigênio uma grama de células consome por unidade de tempo. Aqui q_O = 0,3\\ \mathrm{g\\ O_2}/(\mathrm{g\\ células}\cdot\mathrm{h})é.
  • A concentração de biomassa X é a massa de células por litro: X = 20\\ \mathrm{g\\ células}/\mathrm{L}é.
  • A demanda volumétrica de oxigênio r_O (consumo por volume por tempo) é dada pela multiplicação da concentração de biomassa pela velocidade específica:
r_O = X \cdot q_O
onde
  • r_O tem unidade de \mathrm{g\\ O_2}/(\mathrm{L}\cdot\mathrm{h}),
  • X tem unidade de \mathrm{g\\ células}/\mathrm{L}é,
  • q_O tem unidade de \mathrm{g\\ O_2}/(\mathrm{g\\ células}\cdot\mathrm{h})é.
Essa fórmula é direta: cada grama de células consome q_O gramas de \mathrm{O}_2 por hora, logo X gramas de células por litro consomem X\cdot q_O gramas de \mathrm{O}_2 por litro por hora.

Passo 3

Calcular numericamente a demanda volumétrica usando a fórmula \;r_O = X \cdot q_O\;.
Substituindo os valores:
r_O = 20\\ \mathrm{g\\ células}/\mathrm{L} \;\cdot\; 0,3\\ \mathrm{g\\ O_2}/(\mathrm{g\\ células}\cdot\mathrm{h})éé
Fazendo a multiplicação (os \mathrm{g\\ células}é se cancelam):
r_O = 20 \cdot 0,3\\ \mathrm{g\\ O_2}/(\mathrm{L}\cdot\mathrm{h}) = 6\\ \mathrm{g\\ O_2}/(\mathrm{L}\cdot\mathrm{h})
Portanto a demanda é \;6\\ \mathrm{g\\ O_2}/(\mathrm{L}\cdot\mathrm{h}).

Passo 4

Colocar a mesma demanda em unidades mais diretamente comparáveis com a solubilidade (que foi dada em mg/L).
Converter \;6\\ \mathrm{g\\ O_2}/(\mathrm{L}\cdot\mathrm{h}) para \mathrm{mg\\ O_2}/(\mathrm{L}\cdot\mathrm{h}).
Lembre que 1\\ \mathrm{g} = 1000\\ \mathrm{mg}. Então:
6\\ \mathrm{g\\ O_2}/(\mathrm{L}\cdot\mathrm{h}) = 6 \cdot 1000\\ \mathrm{mg\\ O_2}/(\mathrm{L}\cdot\mathrm{h}) = 6000\\ \mathrm{mg\\ O_2}/(\mathrm{L}\cdot\mathrm{h}).

Passo 5

Preparar os valores para a comparação com a solubilidade.
A solubilidade dada foi \;8\\ \mathrm{mg\\ O_2}/\mathrm{L}. Em gramas por litro isso é:
8\\ \mathrm{mg\\ O_2}/\mathrm{L} = 0,008\\ \mathrm{g\\ O_2}/\mathrm{L}.
Podemos comparar usando qualquer par de unidades consistentes; vou mostrar as duas formas (usando mg e usando g) para ficar claro.

Passo 6

Calcular quantas vezes a demanda é maior que a solubilidade.
Usando unidades em gramas:
\text{razão} = \frac{r_O}{\text{solubilidade}} = \frac{6\\ \mathrm{g\\ O_2}/(\mathrm{L}\cdot\mathrm{h})}{0,008\\ \mathrm{g\\ O_2}/\mathrm{L}}.ã
Aqui a unidade \mathrm{g\\ O_2}/\mathrm{L} no denominador corresponde à quantidade máxima dissolvida por litro (sem unidade de tempo). A razão será em \mathrm{h^{-1}} se compararmos diretamente consumo por hora com estoque instantâneo solubilizado; mas normalmente interpretamos “quantas vezes maior” como razão numérica entre valores (ignorando a unidade de tempo) — para isso é mais direto usar mg com mesma base temporal: comparar a demanda horária (mg/L·h) com a quantidade dissolvida (mg/L). Ou, como o enunciado pediu “quantas vezes a demanda é maior que a solubilidade”, a razão numérica é:
Usando mg (mais direto):
\text{razão} = \frac{6000\\ \mathrm{mg\\ O_2}/(\mathrm{L}\cdot\mathrm{h})}{8\\ \mathrm{mg\\ O_2}/\mathrm{L}} = \frac{6000}{8} = 750.ã
Também obtém-se o mesmo valor usando g:
\frac{6}{0,008} = 750.
Portanto a demanda horária de \mathrm{O}_2 é 750 vezes maior que a quantidade de \mathrm{O}_2 solúvel instantaneamente no líquido.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo (pra te animar antes da prova):
  • Resultado prático: com a biomassa e a taxa dadas, o sistema consome oxigênio muito mais rápido do que a água consegue mantê-lo dissolvido em equilíbrio. Em termos práticos de biorreator, isso significa que sem transferência eficiente de oxigênio do gás para o líquido (boa aeração, agitação, alto k_La) o processo vai ficar limitado por oxigênio.
  • Não se assuste com o número grande — o cálculo é simples e direto: multiplicar biomassa por taxa específica e comparar com a solubilidade. Você já dominou o método!

Resposta

6\\ \mathrm{g\\ O_2}/(\mathrm{L}\cdot\mathrm{h}) \,=\, 6000\\ \mathrm{mg\\ O_2}/(\mathrm{L}\cdot\mathrm{h})
750

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