Ex 7 Um equipamento elétrico tem especificação 100 \mathrm{~V}_{\text {ef }} / 5 \mathrm{kVA}, 60 \mathrm{~Hz}, com fator de potência atrasado igual a 0.6. Qual é a impedância equivalente deste equipamento? Desenhe seu circuito equivalente.
Resp. \boldsymbol{Z}_{\text {eq }}=1.2+j 1.6 \Omega(R=1.2 \Omega em série com L=4.24 \mathrm{mH}).

Passo 1

O enunciado pede a impedância equivalente do equipamento e o circuito equivalente. Dados fornecidos:
V_{\text{ef}} = 100\\ \mathrm{V},\quad S_{\text{nom}} = 5\\ \mathrm{kVA} = 5000\\ \mathrm{VA},\quad f = 60\\ \mathrm{Hz},
\text{fator de potência (atrasado)} = 0{,}6.ê
O que devemos encontrar: a impedância complexa equivalente \boldsymbol{Z}_{\text{eq}} (em \Omega) e representar o circuito equivalente (valores de R e L se for indutivo).

Passo 2

Conceito importante: potências em regimes senoidais.
Explanação didática curta: a potência aparente \;S\; (em VA) relaciona a tensão RMS e a corrente RMS por
S = V_{\text{rms}}\\ I_{\text{rms}}.
Para um elemento ôhmico/reativo com impedância \;Z\;, a corrente é \;I = \dfrac{V}{Z}\;. Tomando magnitudes, obtemos
|S| = V_{\text{rms}}\\ I_{\text{rms}} = V_{\text{rms}}\cdot\frac{V_{\text{rms}}}{|Z|} = \frac{V_{\text{rms}}^{2}}{|Z|},
portanto podemos isolar o módulo da impedância:
|Z| = \frac{V_{\text{rms}}^{2}}{|S|}.
Isto é prático: com tensão e potência aparente conhecidas, achamos o módulo de Z.

Passo 3

Calculemos o módulo da impedância com os números dados:
|Z| = \frac{(100)^{2}}{5000} = \frac{10000}{5000} = 2\\ \Omega.
Então a impedância tem módulo \;2\\ \Omega.

Passo 4

Agora precisamos do ângulo da impedância. O fator de potência (atrasado) é
\cos\varphi = 0{,}6.
Aqui \varphi é o ângulo de \boldsymbol{Z} (porque \cos\varphi = \text{pf}). Calculamos o ângulo:
\varphi = \operatorname{arccos}(0{,}6) \approx 53{,}13^\circ.
Observação didática: “atrasado” significa que a corrente está atrasada em relação à tensão, típico de carga indutiva; isso corresponde a \varphi>0 e a parte imaginária da impedância positiva (reatância indutiva).

Passo 5

Representamos \boldsymbol{Z} em forma polar e convertemos para retangular:
\boldsymbol{Z} = |Z|\angle\varphi = 2\angle 53{,}13^\circ.
Converter para R + jX:
R = |Z|\cos\varphi = 2\cdot 0{,}6 = 1{,}2\\ \Omega,
X = |Z|\sin\varphi = 2\cdot 0{,}8 = 1{,}6\\ \Omega.
Então
\boldsymbol{Z}_{\text{eq}} = 1{,}2 + j\,1{,}6\\ \Omega.
Breve explicação: usei \sin\varphi=0{,}8 porque \cos\varphi=0{,}6 e \sin\varphi=\sqrt{1-\cos^{2}\varphi}=\sqrt{1-0{,}36}=0{,}8.

Passo 6

Interpretando a parte imaginária como reatância indutiva X_{L}=\omega L (já que a carga é indutiva pelo pf atrasado). Fórmula:
X_{L} = 2\pi f L \quad\Rightarrow\quad L = \frac{X_{L}}{2\pi f}.
Substituindo:
L = \frac{1{,}6}{2\pi\cdot 60} = \frac{1{,}6}{376{,}9911\ldots}\approx 0{,}0042437\\ \mathrm{H} = 4{,}24\\ \mathrm{mH}.
Explicação prática: primeiro calculei a reatância 1{,}6\\ \Omega, depois usei 2\pi f para converter para henrys.

Passo 7

Circuito equivalente (descrição para desenhar mentalmente ou na prova):
  • Um resistor R=1{,}2\\ \Omega em série com um indutor de indutância L=4{,}24\\ \mathrm{mH}.
  • Esses dois elementos estão ligados aos terminais da fonte de 100\\ \mathrm{V}_{\text{ef}}.
    Em notação de impedância:
\boldsymbol{Z}_{\text{eq}} = 1{,}2 + j\,1{,}6\\ \Omega.

Resposta

\boldsymbol{Z}_{\text{eq}}=1{,}2+j\,1{,}6\\ \Omega
R=1{,}2\\ \Omega em série com L=4{,}24\\ \mathrm{mH}

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