Um equipamento pivô central, sem canhão final, tem uma linha lateral de 415,4 \mathrm{~m} de comprimento com 201 emissores espaçados de 2 m . O último emissor está localizado no final da lateral e possui raio de alcance de 9 m . Calcule:
a) a área total irrigada pelo equipamento

Passo 1

Dados e o que o enunciado pede:\n
  • Comprimento da linha lateral: \,415{,}4\\ \mathrm{m}.\n
  • Número de emissores: \,201.\n
  • Espaçamento entre emissores: \,2\\ \mathrm{m}.\n
  • O último emissor está localizado no final da lateral (ou seja, sua distância ao pivô é \,415{,}4\\ \mathrm{m}).\n
  • Raio de alcance do último emissor (e assumiremos que todos os emissores têm o mesmo raio): \,9\\ \mathrm{m}.\n
    Pergunta:\n
  • (a) Calcular a área total irrigada pelo equipamento.

Passo 2

Determinar as posições dos emissores ao longo da lateral (distâncias ao pivô).\n
Se temos \,201 emissores espaçados \,2\\ \mathrm{m}, a distância entre o primeiro e o último emissor é (201-1)\times 2.\n
Calculemos:\n
(201-1)\times 2 = 200\times 2 = 400\\ \mathrm{m}.\n
Como o último emissor está em \,415{,}4\\ \mathrm{m} do pivô, a posição do primeiro emissor (o mais próximo do pivô) é\n
\text{posição do 1º emissor} = 415{,}4 - 400 = 15{,}4\\ \mathrm{m}.çãº

Passo 3

Entender o padrão de cobertura de um emissor quando a lateral gira em torno do pivô.\n
Um emissor colocado a uma distância d do pivô e com raio de alcance R cobre, ao girar, todas as posições cuja distância ao pivô esteja entre (d-R) e (d+R). Ou seja, cada emissor gera uma coroa circular (um intervalo radial) [d-R,\;d+R] em torno do pivô. A área total irrigada é a união desses intervalos radiais para todos os emissores; se os emissores estão suficientemente próximos, essa união forma um anel (uma coroa) contínuo entre um raio interior e um raio exterior.

Passo 4

Calcular o raio interno mínimo irrigado e o raio externo máximo irrigado.\n
  • Raio interno: vem do emissor mais próximo ao pivô (o primeiro emissor) e é (d_{1}-R), onde d_{1}=15{,}4\\ \mathrm{m} e R=9\\ \mathrm{m}.\n
r_{\text{in}} = 15{,}4 - 9 = 6{,}4\\ \mathrm{m}.\n
  • Raio externo: vem do emissor mais distante (o último) e é (d_{n}+R), onde d_{n}=415{,}4\\ \mathrm{m}.\n
r_{\text{out}} = 415{,}4 + 9 = 424{,}4\\ \mathrm{m}.\n
Observação: \,r_{\text{in}}>0, então há uma pequena região circular central não irrigada (raio \,6{,}4\\ \mathrm{m}).

Passo 5

Expressar a área total irrigada em termos de r_{\text{out}} e r_{\text{in}}.\n
A área irrigada é a área da coroa (anél) entre os dois círculos de raios \,r_{\text{out}} e \,r_{\text{in}}. A fórmula da área de um círculo é \pi r^{2}. A área da coroa é a diferença das áreas dos dois círculos:\n
A = \pi\bigl(r_{\text{out}}^{2} - r_{\text{in}}^{2}\bigr).

Passo 6

Substituir os valores de \,r_{\text{out}} e \,r_{\text{in}} na expressão e simplificar parcialmente.\n
Temos \,r_{\text{out}} = 424{,}4 e \,r_{\text{in}} = 6{,}4. Então\n
A = \pi\bigl(424{,}4^{2} - 6{,}4^{2}\bigr).

Passo 7

Calcular as potências ao quadrado passo a passo (mostrando como fazer sem calculadora mentalmente estruturada):\n
  • Primeiro, 424{,}4^{2}. Podemos escrever 424{,}4 = 424 + 0{,}4 e usar (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}:\n
424^{2} = 179\,776,\n
2\cdot 424\cdot 0{,}4 = 339{,}2,\n
0{,}4^{2} = 0{,}16,\n
portanto
424{,}4^{2} = 179\,776 + 339{,}2 + 0{,}16 = 180\,115{,}36.\n
  • Em seguida, 6{,}4^{2}:\n
6{,}4^{2} = 40{,}96.

Passo 8

Subtrair as duas grandezas e montar a expressão final antes da multiplicação por \pi:\n
424{,}4^{2} - 6{,}4^{2} = 180\,115{,}36 - 40{,}96 = 180\,074{,}4.\n
Logo a área exata (em termos de \pi) é\n
A = \pi \cdot 180\,074{,}4\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 9

Conselho prático para a prova: memorize a ideia chave — um emissor a distância d e com alcance R gera cobertura radial [d-R,d+R]. Para várias posições regulares é comum obter cobertura contínua entre \min(d_i-R) e \max(d_i+R), e aí a área é simplesmente a diferença de áreas de círculos.

Resposta

A \approx 565\,720{,}41\\ \mathrm{m}^{2}\n
A \approx 56{,}5720\\ \mathrm{ha}

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