Um equipamento pivô central, sem canhão final, tem uma linha lateral de
de comprimento com 201 emissores espaçados de 2 m . O último emissor está localizado no final da lateral e possui raio de alcance de 9 m . Calcule:
a) a área total irrigada pelo equipamento
a) a área total irrigada pelo equipamento
Passo 1
Dados e o que o enunciado pede:\n
- Comprimento da linha lateral:
.\n - Número de emissores:
.\n - Espaçamento entre emissores:
.\n - O último emissor está localizado no final da lateral (ou seja, sua distância ao pivô é
).\n - Raio de alcance do último emissor (e assumiremos que todos os emissores têm o mesmo raio):
.\n
Pergunta:\n - (a) Calcular a área total irrigada pelo equipamento.
Passo 2
Determinar as posições dos emissores ao longo da lateral (distâncias ao pivô).\n
Se temos emissores espaçados
, a distância entre o primeiro e o último emissor é
.\n
Calculemos:\n
Se temos
Calculemos:\n
Como o último emissor está em
do pivô, a posição do primeiro emissor (o mais próximo do pivô) é\n
Passo 3
Entender o padrão de cobertura de um emissor quando a lateral gira em torno do pivô.\n
Um emissor colocado a uma distância do pivô e com raio de alcance
cobre, ao girar, todas as posições cuja distância ao pivô esteja entre
e
. Ou seja, cada emissor gera uma coroa circular (um intervalo radial)
em torno do pivô. A área total irrigada é a união desses intervalos radiais para todos os emissores; se os emissores estão suficientemente próximos, essa união forma um anel (uma coroa) contínuo entre um raio interior e um raio exterior.
Um emissor colocado a uma distância
Passo 4
Calcular o raio interno mínimo irrigado e o raio externo máximo irrigado.\n
- Raio interno: vem do emissor mais próximo ao pivô (o primeiro emissor) e é
, onde e .\n
- Raio externo: vem do emissor mais distante (o último) e é
, onde .\n
Observação:
, então há uma pequena região circular central não irrigada (raio
).
Passo 5
Expressar a área total irrigada em termos de
e
.\n
A área irrigada é a área da coroa (anél) entre os dois círculos de raios e
. A fórmula da área de um círculo é
. A área da coroa é a diferença das áreas dos dois círculos:\n
A área irrigada é a área da coroa (anél) entre os dois círculos de raios
Passo 6
Substituir os valores de
e
na expressão e simplificar parcialmente.\n
Temos e
. Então\n
Temos
Passo 7
Calcular as potências ao quadrado passo a passo (mostrando como fazer sem calculadora mentalmente estruturada):\n
- Primeiro,
. Podemos escrever e usar :\n
portanto
- Em seguida,
:\n
Passo 8
Subtrair as duas grandezas e montar a expressão final antes da multiplicação por
:\n
Logo a área exata (em termos de
) é\n
Passo 9
Conselho prático para a prova: memorize a ideia chave — um emissor a distância
e com alcance
gera cobertura radial
. Para várias posições regulares é comum obter cobertura contínua entre
e
, e aí a área é simplesmente a diferença de áreas de círculos.