Um pivô central com linha lateral de 415,4 \mathrm{~m} de comprimento, apresenta um canhão com raio de alcance de 30 m , operando em toda a circunferência. Calcule:
a) A área total irrigada pelo equipamento (ha)
b) A área básica (ha)
c) A área irrigada pelo canhão (ha)

Passo 1

O enunciado dá um pivô central com linha lateral de comprimento 415,4\\ \mathrm{m} e um canhão (aspersor de maior alcance) que chega até 30\\ \mathrm{m}, operando em toda a circunferência. Perguntas:
a) Calcular a área total irrigada pelo equipamento (em hectares).
b) Calcular a área básica (em hectares) — ou seja, a área irrigada pela linha lateral sem contar o acréscimo do canhão.
c) Calcular a área irrigada pelo canhão (em hectares) — ou seja, a área adicional fornecida pelo canhão.
Informações relevantes fornecidas:
  • comprimento da linha lateral: L = 415,4\\ \mathrm{m},
  • alcance do canhão: r = 30\\ \mathrm{m},
  • o canhão opera em toda a circunferência (logo forma um anel completo ao redor do pivô).

Passo 2

Entendimento geométrico e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • A irrigação de um pivô central descreve círculos: a área de um círculo de raio R é dada por
A = \pi R^{2},
onde \pi é a constante (aprox. 3,14159265) e R é o raio em metros. Essa fórmula vem da definição da área como proporcional ao quadrado do raio; não precisa decorar mais que isso na prova — use A=\pi R^{2}.
  • A área irrigada pelo canhão (a “fita” externa) é a área do anel entre o círculo de raio R (linha + canhão) e o círculo de raio L (somente a linha). Essa área é
A_{\text{canhão}} = \pi\bigl(R^{2}-L^{2}\bigr).ã
  • Conversão de unidades: 1\\ \text{hectare (ha)} = 10\,000\\ \mathrm{m}^{2}. Então para passar metros quadrados para hectares dividimos por 10\,000.

Passo 3

Calcular o raio total irrigado (linha + canhão). Definimos:
R = L + r.
Substituindo:
R = 415,4 + 30 = 445,4\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a área total irrigada (em \mathrm{m}^{2}) usando A_{\text{total}}=\pi R^{2}.
Primeiro o quadrado do raio:
R^{2} = 445,4^{2} = 198\,381,16\\ \mathrm{m}^{2}.
Agora a área:
A_{\text{total}} = \pi \times 198\,381,16 \approx 623\,232,79\\ \mathrm{m}^{2}.
Converter para hectares:
A_{\text{total}} = \frac{623\,232,79}{10\,000} \approx 62,3233\\ \mathrm{ha}.

Passo 5

Calcular a área básica (apenas a linha lateral) com raio L. Primeiro:
L^{2} = 415,4^{2} = 172\,557,16\\ \mathrm{m}^{2}.
Área básica:
A_{\text{básica}} = \pi \times 172\,557,16 \approx 542\,104,31\\ \mathrm{m}^{2}.á
Converter para hectares:
A_{\text{básica}} = \frac{542\,104,31}{10\,000} \approx 54,2104\\ \mathrm{ha}.á

Passo 6

Calcular a área irrigada pelo canhão como diferença (anél):
Usamos a diferença de quadrados para simplificar:
R^{2}-L^{2} = (R-L)(R+L) = 30 \times (445,4+415,4) = 30 \times 860,8 = 25\,824\\ \mathrm{m}^{2}.
Então a área do canhão:
A_{\text{canhão}} = \pi \times 25\,824 \approx 81\,128,49\\ \mathrm{m}^{2}.ã
Converter para hectares:
A_{\text{canhão}} = \frac{81\,128,49}{10\,000} \approx 8,1128\\ \mathrm{ha}.ã

Passo 7

Resumo numérico (comencando a se acostumar a apresentar respostas em hectares na prova): as três áreas pedidas são os valores que acabamos de calcular. Você fez bem em seguir passo a passo — respira, confere as contas e pronto, está na mão!

Resposta

62,3233\\ \mathrm{ha}
54,2104\\ \mathrm{ha}
8,1128\\ \mathrm{ha}

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