Em um equipamento são colocados dois cilindros de raios iguais a 3 cm e 6 cm . Estes cilindros estão eletricamente carregados com densidade de carga linear,
para o primeiro e
para o segundo. Os cilindros são concêntricos, ou seja, o cilindro menor está posicionado no interior do maior e ambos compartilham o mesmo eixo. Com base nestes dados, quais são os módulos dos campos elétricos situados a um raio de 4 e 8 cm do centro dos dois cilindros, que são respectivamente N/C.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (pegos do enunciado):
- Raio do cilindro menor:
. - Raio do cilindro maior:
. - Densidade de carga linear do cilindro menor:
. - Densidade de carga linear do cilindro maior:
.
- Raio do cilindro menor:
-
O que o problema pede:
- O módulo do campo elétrico a uma distância
do centro. - O módulo do campo elétrico a uma distância
do centro.
- O módulo do campo elétrico a uma distância
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha passo a passo).
- Para cilindros longos e concêntricos com cargas distribuídas uniformemente ao longo do comprimento, usamos a Lei de Gauss. Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio
e comprimento . - A Lei de Gauss diz:
onde
é a permissividade do vácuo (
) e
é a carga total dentro da superfície gaussiana.
- Para a superfície cilíndrica, o campo
é radial e constante em módulo sobre a superfície lateral, então o fluxo vale . A carga interna é a soma das densidades lineares dos cilindros contidos multiplicada por : . - Assim, cancelando
, obtemos a expressão (importante: é a soma das dos cilindros cujo raio é menor que ):
- Como o enunciado pede módulo do campo, usaremos
no numerador quando for o caso.
Passo 3
Determinar
para
e calcular
.
- Para
(que está entre e ), apenas o cilindro menor está dentro da superfície gaussiana. Logo:
- Substituindo na fórmula:
- Agora fazemos as contas passo a passo. Primeiro calcule
:
- Multiplicando por
:
- Finalmente:
- Arredondando de forma prática para a prova, podemos usar
.
Passo 4
Determinar
para
e calcular
.
- Para
(maior que ), ambos os cilindros estão dentro da superfície gaussiana. Logo:
- O módulo da carga linear total é
. - Substituindo na fórmula:
- Já conhecendo
, multiplicamos por :
- Então:
- Arredondando para a prova:
.
Passo 5
Comentário final e interpretação rápida (útil na prova).
- Módulo do campo no ponto entre os cilindros depende só da carga do cilindro interno; fora dos dois, depende da soma das cargas lineares.
- Se precisar do sentido: em
o campo é dirigido para fora (porque ); em o campo é dirigido para dentro (porque a soma é negativa). Mas como o enunciado pediu apenas módulos, esses sinais não entram na resposta final. - Bom trabalho! Guarda bem esse método: superfície cilíndrica, calcular
, aplicar — é rápido e confiável na prova.