Em um equipamento são colocados dois cilindros de raios iguais a 3 cm e 6 cm . Estes cilindros estão eletricamente carregados com densidade de carga linear, \lambda_{1}=5.10^{-6} \mathrm{C} / \mathrm{m} para o primeiro e \lambda_{2}=-7.10^{-6} \mathrm{C} / \mathrm{m} para o segundo. Os cilindros são concêntricos, ou seja, o cilindro menor está posicionado no interior do maior e ambos compartilham o mesmo eixo. Com base nestes dados, quais são os módulos dos campos elétricos situados a um raio de 4 e 8 cm do centro dos dois cilindros, que são respectivamente N/C.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Raio do cilindro menor: r_1=3\\ \text{cm}=0,03\\ \mathrm{m}.
    • Raio do cilindro maior: r_2=6\\ \text{cm}=0,06\\ \mathrm{m}.
    • Densidade de carga linear do cilindro menor: \lambda_{1}=5\cdot10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.
    • Densidade de carga linear do cilindro maior: \lambda_{2}=-7\cdot10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.
  • O que o problema pede:
    • O módulo do campo elétrico a uma distância r=4\\ \text{cm}=0,04\\ \mathrm{m} do centro.
    • O módulo do campo elétrico a uma distância r=8\\ \text{cm}=0,08\\ \mathrm{m} do centro.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha passo a passo).
  • Para cilindros longos e concêntricos com cargas distribuídas uniformemente ao longo do comprimento, usamos a Lei de Gauss. Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L.
  • A Lei de Gauss diz:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}=8,854\cdot10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}) e Q_{\mathrm{int}} é a carga total dentro da superfície gaussiana.
  • Para a superfície cilíndrica, o campo \mathbf{E} é radial e constante em módulo sobre a superfície lateral, então o fluxo vale E\cdot(2\pi r L). A carga interna é a soma das densidades lineares dos cilindros contidos multiplicada por L: Q_{\mathrm{int}}=(\lambda_{\mathrm{enc}})L.
  • Assim, cancelando L, obtemos a expressão (importante: \lambda_{\mathrm{enc}} é a soma das \lambda dos cilindros cujo raio é menor que r):
E(r)=\frac{\lambda_{\mathrm{enc}}}{2\pi\varepsilon_{0}\,r}.
  • Como o enunciado pede módulo do campo, usaremos |\lambda_{\mathrm{enc}}| no numerador quando for o caso.

Passo 3

Determinar \lambda_{\mathrm{enc}} para r=0,04\\ \mathrm{m} e calcular E(0,04).
  • Para r=0,04\\ \mathrm{m} (que está entre r_1=0,03\\ \mathrm{m} e r_2=0,06\\ \mathrm{m}), apenas o cilindro menor está dentro da superfície gaussiana. Logo:
\lambda_{\mathrm{enc}}=\lambda_{1}=5\cdot10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.
  • Substituindo na fórmula:
E(0,04)=\frac{|\lambda_{1}|}{2\pi\varepsilon_{0}\,(0,04)}.
  • Agora fazemos as contas passo a passo. Primeiro calcule 2\pi\varepsilon_{0}:
2\pi\varepsilon_{0}\approx 2\pi\cdot(8,854\cdot10^{-12})\approx 5,563\cdot10^{-11}.
  • Multiplicando por r=0,04:
2\pi\varepsilon_{0}\,r\approx 5,563\cdot10^{-11}\cdot0,04\approx 2,225\cdot10^{-12}.
  • Finalmente:
E(0,04)=\frac{5\cdot10^{-6}}{2,225\cdot10^{-12}}\approx 2,246\cdot10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
  • Arredondando de forma prática para a prova, podemos usar E(4\\ \text{cm})\approx 2,25\cdot10^{6}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 4

Determinar \lambda_{\mathrm{enc}} para r=0,08\\ \mathrm{m} e calcular E(0,08).
  • Para r=0,08\\ \mathrm{m} (maior que r_2), ambos os cilindros estão dentro da superfície gaussiana. Logo:
\lambda_{\mathrm{enc}}=\lambda_{1}+\lambda_{2}=5\cdot10^{-6}+(-7\cdot10^{-6})=-2\cdot10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.
  • O módulo da carga linear total é |\lambda_{\mathrm{enc}}|=2\cdot10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.
  • Substituindo na fórmula:
E(0,08)=\frac{|\lambda_{1}+\lambda_{2}|}{2\pi\varepsilon_{0}\,(0,08)}.
  • Já conhecendo 2\pi\varepsilon_{0}\approx5,563\cdot10^{-11}, multiplicamos por r=0,08:
2\pi\varepsilon_{0}\,r\approx 5,563\cdot10^{-11}\cdot0,08\approx 4,450\cdot10^{-12}.
  • Então:
E(0,08)=\frac{2\cdot10^{-6}}{4,450\cdot10^{-12}}\approx 4,494\cdot10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
  • Arredondando para a prova: E(8\\ \text{cm})\approx 4,49\cdot10^{5}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 5

Comentário final e interpretação rápida (útil na prova).
  • Módulo do campo no ponto entre os cilindros depende só da carga do cilindro interno; fora dos dois, depende da soma das cargas lineares.
  • Se precisar do sentido: em r=4\\ \text{cm} o campo é dirigido para fora (porque \lambda_{1}>0); em r=8\\ \text{cm} o campo é dirigido para dentro (porque a soma \lambda_{1}+\lambda_{2} é negativa). Mas como o enunciado pediu apenas módulos, esses sinais não entram na resposta final.
  • Bom trabalho! Guarda bem esse método: superfície cilíndrica, calcular \lambda_{\mathrm{enc}}, aplicar E=\lambda_{\mathrm{enc}}/(2\pi\varepsilon_{0}r) — é rápido e confiável na prova.

Resposta

E(4\\ \text{cm})=2,25\cdot10^{6}\\ \mathrm{N/C}
E(8\\ \text{cm})=4,49\cdot10^{5}\\ \mathrm{N/C}

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