(4.6.Moyses). Nas experiências clássicas de 1906 que levaram à descoberta do núcleo atômico, Rutherford bombardeou uma fina lâmina de ouro (número atômico 79) com partículas alfa (núcleos de hélio com carga 2 e ), provenientes de uma fonte radioativa.
Observou-se que algumas partículas eram desviadas para trás. A energia cinética inicial dessas partículas era 7,68 \mathrm{MeV}. Considere uma colisão frontal entre uma partícula alfa e um núcleo de ouro, resultando em retroespalhamento. Determine a distância mínima de aproximação entre as duas partículas carregadas. Use: \mathbf{1 e V}=\mathbf{1 , 6 . 1 0 ^ { - 1 9 }} \boldsymbol{J}. Rutherford estimou que o raio do núcleo é da ordem dessa distância.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Partícula alfa com carga 2e (onde e é a carga elementar).
  • Núcleo de ouro com número atômico 79, portanto carga 79e.
  • Energia cinética inicial da partícula alfa: 7,68\\ \mathrm{MeV}.
  • Conversão fornecida: 1\\ \mathrm{eV} = 1,6\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
O que pede o enunciado:
  • Determinar a distância mínima de aproximação r_{\min} entre a partícula alfa e o núcleo de ouro numa colisão frontal (retroespalhamento).

Passo 2

Ideia física que vamos usar (conservação de energia, explicação didática):
  • Num choque frontal e clássico, a partícula alfa se aproxima até parar momentaneamente e ser repelida. No ponto de aproximação mínima toda a energia cinética inicial transformou-se em energia potencial elétrica (energética de Coulomb).
  • Assim, a condição no ponto de maior aproximação é:
\text{energia cinética inicial} = \text{energia potencial elétrica (Coulomb)}.éé
  • Em símbolos:
K = U(r_{\min}).

Passo 3

Fórmula da energia potencial elétrica entre duas cargas puntiformes:
  • A energia potencial elétrica entre duas cargas q_1 e q_2 separadas por r é dada por
U(r)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{q_1 q_2}{r},
onde:
  • \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}=k é a constante eletrostática ( k\approx8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}),
  • q_1 e q_2 são as cargas em coulombs,
  • r é a separação em metros.
  • Aplicando a conservação de energia:
K = k\,\dfrac{q_1 q_2}{r_{\min}}\quad\Rightarrow\quad r_{\min}=k\,\dfrac{q_1 q_2}{K}.

Passo 4

Expressar as cargas e a energia em unidades SI:
  • As cargas são q_1=2e e q_2=79e, logo
q_1 q_2 = (2e)(79e)=158\,e^2.
  • Valor da carga elementar (usando a aproximação do enunciado): e=1,6\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Calcular e^2:
e^2=(1,6\times10^{-19})^2 = 2,56\times10^{-38}\\ \mathrm{C^2}.
  • Portanto
q_1 q_2 = 158\times2,56\times10^{-38}=4,0448\times10^{-36}\\ \mathrm{C^2}.
  • Converter a energia cinética inicial para joules:
K = 7,68\\ \mathrm{MeV} = 7,68\times10^{6}\\ \mathrm{eV}.
Usando 1\\ \mathrm{eV}=1,6\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
K = 7,68\times10^{6}\times1,6\times10^{-19} = 1,2288\times10^{-12}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Colocar os números na fórmula de r_{\min}:
  • Usando k=8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}},
r_{\min}=k\,\dfrac{q_1 q_2}{K} = (8,99\times10^{9})\dfrac{4,0448\times10^{-36}}{1,2288\times10^{-12}}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Fazer as contas passo a passo:
  • Primeiro multiplicação do numerador:
k\,(q_1 q_2)=8,99\times10^{9}\times4,0448\times10^{-36}=3,6361\times10^{-26}\\ \mathrm{J\cdot m}.
  • Agora divisão por K:
r_{\min}=\dfrac{3,6361\times10^{-26}}{1,2288\times10^{-12}}=2,9587\times10^{-14}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretar o resultado e dar forma prática:
  • Arredondando com dois algarismos significativos compatíveis com os dados:
r_{\min}\approx3,0\times10^{-14}\\ \mathrm{m}.
  • Em unidades úteis para física nuclear, 1\\ \mathrm{fm}=10^{-15}\\ \mathrm{m}, então
r_{\min}\approx30\\ \mathrm{fm},
o que está na ordem de grandeza usada por Rutherford para estimar o raio nuclear.

Resposta

r_{\min}=3,0\times10^{-14}\\ \mathrm{m}

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