O sistema telefônico de São Paulo utiliza oito (8) dígitos para designar os diversos telefones. Supondo que o primeiro dígito seja sempre dois (2) e que o dígito zero (0) não seja utilizado para designar estações ( 2^{\circ} e 3^{\circ} dígitos), quantos números de telefones diferentes poderemos ter?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para não perder nada):
  • O número de telefone tem exatamente oito algarismos.
  • O primeiro dígito é sempre o número \,2.
  • O segundo e o terceiro dígitos não podem ser o dígito \,0 (ou seja, para cada um deles o \,0 está proibido).
  • Os demais dígitos (4.º ao 8.º) não receberam restrição explícita, então podem ser quaisquer dígitos de \,0 a \,9.
    A pergunta é: quantos números de telefone distintos podem existir dadas essas condições?

Passo 2

Princípio de contagem (regra do produto). Explicando bem devagar: quando temos uma sequência de escolhas independentes (cada posição do número é uma escolha) e a quantidade de opções para cada posição é fixa, o número total de sequências possíveis é o produto do número de opções de cada posição. Por exemplo, se tenho 2 escolhas para a primeira coisa e 3 escolhas para a segunda, então há 2\cdot3=6 combinações possíveis. Vamos aplicar isso posição por posição ao nosso número de telefone.

Passo 3

Contagem das opções para cada posição do número (posição = dígito):
  • 1.º dígito: está fixo em \,2. Então há exatamente 1 escolha para essa posição.
  • 2.º dígito: não pode ser \,0. Como os dígitos possíveis são \,0,1,2,\dots,9 e \,0 está proibido, restam 9 opções ( \,1 a \,9).
  • 3.º dígito: mesma restrição que o 2.º, logo também tem 9 opções.
  • 4.º, 5.º, 6.º, 7.º e 8.º dígitos: sem restrição, cada um pode ser qualquer um dos 10 dígitos \,0 a \,9. Cada uma dessas posições tem 10 opções.
Agora temos todas as quantidades de opções para cada uma das 8 posições.

Passo 4

Aplicando a regra do produto: multiplica-se o número de opções de cada posição.
\text{total} = 1 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10.
Agrupando os termos mais simples:
\text{total} = 1 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 10^{5}.
Calculemos passo a passo para ficar bem claro:
9\cdot9=81, \qquad 10^{5}=100\,000.
Logo
\text{total}=81\cdot100\,000=8\,100\,000.

Passo 5

Interpretação rápida (para usar na prova): fixar dígitos reduz o fator correspondente para 1; proibir o \,0 numa posição transforma as 10 opções em 9; posições sem restrição mantêm 10 opções. Sempre escreva a multiplicação posição a posição e então simplifique — é rápido e seguro em prova.

Resposta

\,8\,100\,000

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