O sistema telefônico de São Paulo utiliza oito (8) dígitos para designar os diversos telefones. Supondo que o primeiro dígito seja sempre dois (2) e que o dígito zero (0) não seja utilizado para designar estações (
e
dígitos), quantos números de telefones diferentes poderemos ter?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para não perder nada):
- O número de telefone tem exatamente oito algarismos.
- O primeiro dígito é sempre o número
. - O segundo e o terceiro dígitos não podem ser o dígito
(ou seja, para cada um deles o está proibido). - Os demais dígitos (4.º ao 8.º) não receberam restrição explícita, então podem ser quaisquer dígitos de
a .
A pergunta é: quantos números de telefone distintos podem existir dadas essas condições?
Passo 2
Princípio de contagem (regra do produto). Explicando bem devagar: quando temos uma sequência de escolhas independentes (cada posição do número é uma escolha) e a quantidade de opções para cada posição é fixa, o número total de sequências possíveis é o produto do número de opções de cada posição. Por exemplo, se tenho 2 escolhas para a primeira coisa e 3 escolhas para a segunda, então há
combinações possíveis. Vamos aplicar isso posição por posição ao nosso número de telefone.
Passo 3
Contagem das opções para cada posição do número (posição = dígito):
- 1.º dígito: está fixo em
. Então há exatamente escolha para essa posição. - 2.º dígito: não pode ser
. Como os dígitos possíveis são e está proibido, restam opções ( a ). - 3.º dígito: mesma restrição que o 2.º, logo também tem
opções. - 4.º, 5.º, 6.º, 7.º e 8.º dígitos: sem restrição, cada um pode ser qualquer um dos
dígitos a . Cada uma dessas posições tem opções.
Agora temos todas as quantidades de opções para cada uma das 8 posições.
Passo 4
Aplicando a regra do produto: multiplica-se o número de opções de cada posição.
Agrupando os termos mais simples:
Calculemos passo a passo para ficar bem claro:
Logo
Passo 5
Interpretação rápida (para usar na prova): fixar dígitos reduz o fator correspondente para
; proibir o
numa posição transforma as
opções em
; posições sem restrição mantêm
opções. Sempre escreva a multiplicação posição a posição e então simplifique — é rápido e seguro em prova.