Uma equipe de D e v O p s monitorou o tempo de resposta (em milissegundos) de um servidor de aplicação durante uma hora de pico. Os dados coletados foram os seguintes:
120,135,115,128,140,118,125,132,120,138,115,122
  1. Organize os dados em um rol.
  2. Calcule a média, mediana e moda do tempo de resposta. Qual medida de tendência central você considera mais adequada para representar esse conjunto de dados? Justifique sua resposta.
  3. Calcule o primeiro quartil (Q_1) e o terceiro quartil (Q_3). O que esses valores representam em termos de desempenho do servidor?

Passo 1

O enunciado dá os 12 tempos de resposta (em milissegundos):
120,135,115,128,140,118,125,132,120,138,115,122
E pede três coisas:
  1. organizar os dados em um rol;
  2. calcular a média, a mediana e a moda e dizer qual medida de tendência central é mais adequada (com justificativa);
  3. calcular o primeiro quartil Q_1 e o terceiro quartil Q_3 e explicar o que esses valores representam para o desempenho do servidor.

Passo 2

Organizar em rol significa colocar os valores em ordem crescente. Vou ordenar os números dados: primeiro reconheço todos os valores e depois os coloco do menor para o maior. O rol é:
115,115,118,120,120,122,125,128,132,135,138,140

Passo 3

Cálculo da média (explicação didática): a média aritmética é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Se os tempos forem x_1,x_2,\dots,x_n, a média é \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i. Aqui n=12.
Somando todos os valores do rol (vou mostrar a soma em etapas para você poder fazer sem calculadora):
115+115=230
230+118=348
348+120=468
468+120=588
588+122=710
710+125=835
835+128=963
963+132=1095
1095+135=1230
1230+138=1368
1368+140=1508
Portanto, a soma total é 1508. A média é
\bar{x}=\frac{1508}{12}=\frac{377}{3}\approx 125,666\ldots
Arredondando a uma casa decimal: \bar{x}\approx 125,7 milissegundos.

Passo 4

Cálculo da mediana (explicação didática): a mediana é o valor que deixa metade das observações menores e metade maiores. Para n par (aqui n=12), a mediana é a média dos dois valores centrais, que são as observações nas posições n/2 e n/2+1, ou seja posições 6 e 7 do rol.
No rol:
\text{posição 6} = 122,\qquad \text{posição 7} = 125çãçã
Logo a mediana é
\text{mediana}=\frac{122+125}{2}=\frac{247}{2}=123,5
Portanto a mediana é 123,5 ms.

Passo 5

Cálculo da moda (explicação didática): a moda é o(s) valor(es) que aparecem com maior frequência. Vou contar as frequências no rol:
  • 115 aparece 2 vezes.
  • 118 aparece 1 vez.
  • 120 aparece 2 vezes.
  • 122 aparece 1 vez.
  • 125 aparece 1 vez.
  • 128 aparece 1 vez.
  • 132 aparece 1 vez.
  • 135 aparece 1 vez.
  • 138 aparece 1 vez.
  • 140 aparece 1 vez.
Os valores mais frequentes são 115 e 120, cada um com frequência 2. Então há duas modas: 115 e 120 (dados bimodais).

Passo 6

Qual medida de tendência central é mais adequada? (explicação e justificativa didática)
  • A média usa todos os valores e é sensível a valores extremos (outliers).
  • A mediana é o valor do meio e é robusta a outliers; representa bem um “valor típico” quando há assimetrias ou picos.
  • A moda mostra o(s) valor(es) mais frequente(s), útil para saber o tempo mais comum, mas não resume a centralidade quando queremos um único número representativo.
No nosso conjunto os valores variam de 115 a 140 ms, sem outliers extremos, mas com alguma dispersão e com dois picos de frequência ( 115 e 120). Para tempos de resposta de servidor costuma-se preferir a mediana porque ela indica um tempo típico que um usuário real experimenta e não é distorcida por respostas muito altas ocasionais (picos). Portanto, neste contexto eu considero a mediana 123,5 ms a medida mais adequada para representar o comportamento típico do servidor. A média ( 125,666\ldots ms) também é informativa, mas pode ser influenciada se surgirem algumas respostas muito lentas.

Passo 7

Cálculo dos quartis (explicação didática do método usado): para n par (aqui n=12) uma regra comum é dividir o rol em duas metades iguais: a metade inferior são as primeiras n/2 observações e a metade superior são as últimas n/2 observações. Depois, Q_1 é a mediana da metade inferior e Q_3 é a mediana da metade superior.
Metade inferior (primeiras 6 observações):
115,115,118,120,120,122
Como são 6 valores (par), a mediana dessa metade (ou seja Q_1) é a média dos 3.º e 4.º valores da metade inferior:
\text{3.º}=118,\qquad \text{4.º}=120ºº
Q_1=\frac{118+120}{2}=\frac{238}{2}=119
Logo Q_1=119 ms.
Metade superior (últimas 6 observações):
125,128,132,135,138,140
A mediana desta metade (ou seja Q_3) é a média dos 3.º e 4.º valores da metade superior:
\text{3.º}=132,\qquad \text{4.º}=135ºº
Q_3=\frac{132+135}{2}=\frac{267}{2}=133,5
Logo Q_3=133,5 ms.

Passo 8

Interpretação dos quartis e do IQR (explicação didática):
  • Q_1=119 ms significa que 25\% das respostas foram menores ou iguais a 119 ms.
  • Q_3=133,5 ms significa que 75\% das respostas foram menores ou iguais a 133,5 ms.
  • O intervalo interquartílico (IQR) é Q_3-Q_1=133,5-119=14,5 ms, que indica a dispersão dos 50\% centrais dos tempos: metade central das respostas está concentrada num intervalo de 14,5 ms entre 119 e 133,5.
Em termos de desempenho do servidor: metade das respostas (o 50% central) ocorreu entre aproximadamente 119 ms e 133,5 ms; 25% das respostas foram mais rápidas que 119 ms e 25% foram mais lentas que 133,5 ms. Isso dá uma ideia clara de variabilidade e de que não houve respostas extremamente lentas no conjunto observado.

Resposta

  1. Rol: 115,115,118,120,120,122,125,128,132,135,138,140
  2. Média: \dfrac{1508}{12}=\dfrac{377}{3}\approx 125,666\ldots ms; Mediana: 123,5 ms; Moda: 115 e 120 (bimodal). Medida mais adequada: mediana ( 123,5 ms), por ser mais robusta a picos e representar melhor o tempo típico que um usuário experimenta.
  3. Q_1=119 ms; Q_3=133,5 ms

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