Achar a derivada da função z=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} no ponto P=(1,1) na direção da bissetriz do primeiro ângulo coordenado.

Passo 1

O enunciado pede: achar a derivada direcional da função z=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} no ponto P=(1,1) na direção da bissetriz do primeiro ângulo coordenado.\n
Informações dadas:
  • A função é z=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}.\n
  • O ponto onde queremos a derivada direcional é P=(1,1).\n
  • A direção é a bissetriz do primeiro quadrante (ou seja, a reta que faz ângulo de 45^\circ com os eixos), que geometricalmente corresponde ao vetor (1,1) (antes de normalizar).

Passo 2

O que é a derivada direcional e como vamos calculá-la (explicação didática):\n
  • A derivada direcional de uma função escalar de duas variáveis f(x,y) num ponto P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f quando nos movemos a partir de P nessa direção.\n
  • A fórmula prática que usamos é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u},
onde \nabla f(P) é o gradiente de f em P e \cdot é o produto escalar.\n
  • O gradiente \nabla f(x,y) é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Isso porque a derivada direcional é a combinação linear das derivadas parciais ponderadas pelas componentes do vetor de direção (quando esse vetor é unitário).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z. Primeiro simplificamos a função para facilitar a diferenciação:\n
z=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
(Aqui usei a identidade \ln \sqrt{A}=\tfrac{1}{2}\ln A.)\n
Agora aplicamos a regra da cadeia para derivar em relação a x:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
A derivada de x^{2}+y^{2} em relação a x é 2x. Então
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
De forma análoga, derivando em relação a y:
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P=(1,1):\n
Substituindo x=1 e y=1 nas expressões acima:
\frac{\partial z}{\partial x}(1,1)=\frac{1}{1^{2}+1^{2}}=\frac{1}{2},
\frac{\partial z}{\partial y}(1,1)=\frac{1}{1^{2}+1^{2}}=\frac{1}{2}.
Portanto o gradiente em P é
\nabla z(1,1)=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right).

Passo 5

Encontrar o vetor unitário da direção pedida (bissetriz do primeiro quadrante) e calcular o produto escalar:\n
  • A bissetriz do primeiro quadrante tem direção dada por (1,1). Para usar a fórmula da derivada direcional precisamos do vetor unitário \mathbf{u} nessa direção. O módulo de (1,1) é \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}. Logo
\mathbf{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • Agora aplicamos D_{\mathbf{u}}z(1,1)=\nabla z(1,1)\cdot\mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}z(1,1)=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right) =\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}.
Somando os termos:
D_{\mathbf{u}}z(1,1)=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

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