Achar a derivada da função
no ponto
na direção da bissetriz do primeiro ângulo coordenado.
Passo 1
O enunciado pede: achar a derivada direcional da função
no ponto
na direção da bissetriz do primeiro ângulo coordenado.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
.\n - O ponto onde queremos a derivada direcional é
.\n - A direção é a bissetriz do primeiro quadrante (ou seja, a reta que faz ângulo de
com os eixos), que geometricalmente corresponde ao vetor (antes de normalizar).
Passo 2
O que é a derivada direcional e como vamos calculá-la (explicação didática):\n
- A derivada direcional de uma função escalar de duas variáveis
num ponto na direção de um vetor unitário mede a taxa de variação de quando nos movemos a partir de nessa direção.\n - A fórmula prática que usamos é
onde
é o gradiente de
em
e
é o produto escalar.\n
- O gradiente
é o vetor das derivadas parciais:
Isso porque a derivada direcional é a combinação linear das derivadas parciais ponderadas pelas componentes do vetor de direção (quando esse vetor é unitário).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Primeiro simplificamos a função para facilitar a diferenciação:\n
(Aqui usei a identidade
.)\n
Agora aplicamos a regra da cadeia para derivar em relação a :
Agora aplicamos a regra da cadeia para derivar em relação a
A derivada de
em relação a
é
. Então
De forma análoga, derivando em relação a
:
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
:\n
Substituindo e
nas expressões acima:
Substituindo
Portanto o gradiente em
é
Passo 5
Encontrar o vetor unitário da direção pedida (bissetriz do primeiro quadrante) e calcular o produto escalar:\n
- A bissetriz do primeiro quadrante tem direção dada por
. Para usar a fórmula da derivada direcional precisamos do vetor unitário nessa direção. O módulo de é . Logo
- Agora aplicamos
:
Somando os termos: