Considere a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, definida como segue:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^{3} y}{x^{6}+y^{2}}, & \text { quando } & x^{6}+y^{2} \neq 0 \\\\ 0, & \text { quando } & (x, y)=(0,0) . \end{array}\right.
Pergunta-se: f é diferenciável na origem (0,0) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por \[f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{3}y}{x^{6}+y^{2}}, & \text{quando } x^{6}+y^{2}\neq 0,\\[6pt] 0, & \text{quando } (x,y)=(0,0). \end{cases}
A pergunta é: f\] é diferenciável em \((0,0)?
Informações relevantes: a fórmula de f para (x,y)\neq(0,0) e o valor f(0,0)=0.]

Passo 2

Primeiro vou explicar direitinho o que significa “diferenciável em (0,0)”, sem pressa.
Uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável em (0,0) se existe um mapa linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-L(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Nesse caso o mapa linear L é dado pelo produto interno com o gradiente: L(x,y)=\nabla f(0,0)\cdot (x,y)=f_x(0,0)\,x+f_y(0,0)\,y.
Um fato importantíssimo e útil na prova: se f é diferenciável em (0,0) então f é contínua em (0,0). Portanto, mostrar que f não é contínua em (0,0) já basta para concluir que f não é diferenciável.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais em (0,0) para ver qual seria o candidato a L. Vou usar a definição:
f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h},\qquad f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.
Para y=0 e x\neq 0 temos f(x,0)=\dfrac{x^{3}\cdot 0}{x^{6}+0}=0. Logo
f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0.
Para x=0 e y\neq 0 temos f(0,y)=\dfrac{0\cdot y}{0+y^{2}}=0. Logo
f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0.
Portanto \nabla f(0,0)=(0,0) e o candidato a aproximação linear é L(x,y)=0. Se f fosse diferenciável, teríamos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-0}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Mas atenção: ter derivadas parciais (aqui iguais a zero) não garante diferenciabilidade — é só um requisito necessário.

Passo 4

Agora vou mostrar que f não é até mesmo contínua em (0,0), exibindo trajetórias que levam a limites diferentes ao nos aproximarmos da origem. Considere a família de curvas dadas por
y = k\,x^{3},\quad k\in\mathbb{R}.
Substituindo na expressão de f (para x\neq 0) obtemos, pegando esse dado da definição da função,
f\bigl(x,kx^{3}\bigr)=\frac{x^{3}\cdot (k x^{3})}{x^{6}+(k x^{3})^{2}} =\frac{k x^{6}}{x^{6}+k^{2}x^{6}} =\frac{k}{1+k^{2}}.
Perceba que o resultado é uma constante que não depende de x. Assim, ao aproximarmos (x,y) da origem pela curva y=kx^{3} (ou seja, fazendo x\to 0 com y=kx^3), o valor de f(x,y) tende para \dfrac{k}{1+k^{2}}. Para k\neq 0 esse limite é diferente de 0=f(0,0). Por exemplo, para k=1 temos
\lim_{x\to 0} f(x,x^{3})=\frac{1}{2}\neq 0.
Como existem trajetórias com limites diferentes (dependendo de k), o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não existe e, em particular, f não é contínua em (0,0).

Passo 5

Concluo usando o fato do Passo 2: diferenciabilidade implica continuidade. Já que f não é contínua em (0,0), ela não pode ser diferenciável em (0,0). Também comentei o ponto pedagógico: mesmo com f_x(0,0) e f_y(0,0) existindo (e iguais a zero), a função pode falhar em ser diferenciável — este é um contraexemplo clássico.

Resposta

Não, f não é diferenciável em (0,0).

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