Pergunta-se: f é diferenciável na origem (0,0) ? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por
\[f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{3}y}{x^{6}+y^{2}}, & \text{quando } x^{6}+y^{2}\neq 0,\\[6pt] 0, & \text{quando } (x,y)=(0,0). \end{cases}
A pergunta é: f\] é diferenciável em \((0,0)?
Informações relevantes: a fórmula de f para (x,y)\neq(0,0) e o valor f(0,0)=0.]
Passo 2
Primeiro vou explicar direitinho o que significa “diferenciável em (0,0)”, sem pressa.
Uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável em (0,0) se existe um mapa linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que
Nesse caso o mapa linear L é dado pelo produto interno com o gradiente: L(x,y)=\nabla f(0,0)\cdot (x,y)=f_x(0,0)\,x+f_y(0,0)\,y.
Um fato importantíssimo e útil na prova: se f é diferenciável em (0,0) então f é contínua em (0,0). Portanto, mostrar que f não é contínua em (0,0) já basta para concluir que f não é diferenciável.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais em (0,0) para ver qual seria o candidato a L. Vou usar a definição:
Mas atenção: ter derivadas parciais (aqui iguais a zero) não garante diferenciabilidade — é só um requisito necessário.
Passo 4
Agora vou mostrar que f não é até mesmo contínua em (0,0), exibindo trajetórias que levam a limites diferentes ao nos aproximarmos da origem. Considere a família de curvas dadas por
y = k\,x^{3},\quad k\in\mathbb{R}.
Substituindo na expressão de f (para x\neq 0) obtemos, pegando esse dado da definição da função,
Perceba que o resultado é uma constante que não depende de x. Assim, ao aproximarmos (x,y) da origem pela curva y=kx^{3} (ou seja, fazendo x\to 0 com y=kx^3), o valor de f(x,y) tende para \dfrac{k}{1+k^{2}}. Para k\neq 0 esse limite é diferente de 0=f(0,0). Por exemplo, para k=1 temos
\lim_{x\to 0} f(x,x^{3})=\frac{1}{2}\neq 0.
Como existem trajetórias com limites diferentes (dependendo de k), o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não existe e, em particular, f não é contínua em (0,0).
Passo 5
Concluo usando o fato do Passo 2: diferenciabilidade implica continuidade. Já que f não é contínua em (0,0), ela não pode ser diferenciável em (0,0). Também comentei o ponto pedagógico: mesmo com f_x(0,0) e f_y(0,0) existindo (e iguais a zero), a função pode falhar em ser diferenciável — este é um contraexemplo clássico.