Uma equipe de resgate em cavernas levanta um explorador machucado diretamente para cima e para fora de uma depressão por intermédio de um cabo ligado a um motor. O levantamento é realizado em três estágios, cada um requerendo uma distância vertical de 10 m .
finalmente ele é desacelerado até o repouso. Qual o trabalho realizado sobre o explorador de 80 kg pela força até que o levanta em cada estágio?

Passo 1

O enunciado diz que um explorador de massa \,80\\ \text{kg}\, é levantado verticalmente em três estágios, cada estágio correspondendo a uma distância vertical de \,10\\ \text{m}\,. Ao final ele é trazido ao repouso. A pergunta é: qual o trabalho realizado sobre o explorador pela força (pelo cabo/motor) em cada estágio? \n
Informações fornecidas:
m = 80\\ \text{kg},\qquad \Delta y_{\text{cada estágio}} = 10\\ \text{m}.á
Não foi dada explicitamente a aceleração numérica durante o primeiro estágio nem a desaceleração no último estágio; portanto vamos manter uma notação para a aceleração (se necessária) e obter fórmulas gerais que você pode avaliar substituindo o valor da aceleração que ocorrer no problema da sua prova.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: o teorema trabalho-energia (muito útil na prova). Ele diz que o trabalho total feito por todas as forças sobre um corpo é igual à variação da energia cinética do corpo:
W_{\text{total}}=\Delta K = K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}.
Aqui queremos o trabalho feito pela força do cabo, W_{\text{cabo}}. As forças que atuam são o cabo (para cima) e o peso (gravidade, para baixo). Assim,
W_{\text{cabo}}+W_{\text{grav}}=\Delta K.
O trabalho da gravidade para um deslocamento vertical para cima \Delta y>0 é
W_{\text{grav}}=-mg\Delta y,
onde \,g\approx 9{,}8\\ \text{m/s}^2. Reorganizando para achar o trabalho do cabo:
W_{\text{cabo}}=\Delta K - W_{\text{grav}}=\Delta K + mg\Delta y.
Essa é a fórmula que vamos aplicar em cada estágio. Explico o que cada termo representa:
  • \Delta K=\tfrac{1}{2}m(v_{\text{final}}^2-v_{\text{inicial}}^2) é a mudança da energia cinética no estágio.
  • mg\Delta y é a energia necessária para vencer a gravidade (aumentar energia potencial) ao subir \Delta y.

Passo 3

Calculemos primeiro quanto vale o termo gravitacional para cada estágio (é sempre o mesmo, porque \Delta y=10\\ \text{m} e m e g são constantes):
mg\Delta y = m g (10\\ \text{m}) = 80\cdot 9{,}8 \cdot 10 = 7840\\ \text{J}.
Interpretação: independentemente da aceleração, o cabo precisa fornecer pelo menos \,7840\\ \text{J}\, por estágio para elevar a energia potencial do explorador em 10\\ \text{m}.

Passo 4

Estágio 1 (acelera para cima, partindo do repouso):\n
  • Velocidade inicial \,v_0=0. Seja \,v a velocidade alcançada ao fim do primeiro estágio. A variação da energia cinética é
\Delta K_1=\tfrac{1}{2}m(v^2-0)=\tfrac{1}{2}m v^2.
Se a aceleração constante no estágio for \,a (para cima), a relação cinemática v^2=v_0^2+2a\Delta y
v^2 = 2a(10\\ \text{m}) = 20a,
portanto
\Delta K_1=\tfrac{1}{2}m(20a)= m a (10\\ \text{m}).
Substituindo em W_{\text{cabo}}=\Delta K + mg\Delta y:
W_1 = mg(10)+ m a (10) = m(g+a)(10).
Colocando números (mantendo a simbólico):
W_1 = 7840 + 800\,a\quad\text{(em joules),}
pois m(10)=80\cdot 10=800.

Passo 5

Estágio 2 (movimento com velocidade constante):\n
  • Em movimento a velocidade é constante, então \Delta K_2=0.
    Pelo teorema trabalho-energia:
W_2 = \Delta K_2 + mg(10) = 0 + 7840 = 7840\\ \text{J}.
Interpretação física: todo o trabalho do cabo nesse estágio vai apenas para vencer o peso, não para acelerar o corpo.

Passo 6

Estágio 3 (desacelera até repouso):\n
  • Aqui o corpo entra com velocidade \,v (a mesma obtida no fim do estágio 1, se usarmos simetria) e sai com v_{\text{final}}=0. Assim
\Delta K_3=\tfrac{1}{2}m(0-v^2)=-\tfrac{1}{2}m v^2.
Se a desaceleração de módulo for \,a (mesma magnitude usada no estágio 1, hipótese comum), então v^2=2a(10) e
\Delta K_3 = - m a (10).
Logo
W_3 = \Delta K_3 + mg(10) = -m a (10) + mg(10) = m(g-a)(10).
Em números simbólicos:
W_3 = 7840 - 800\,a\quad\text{(em joules).}
Observação: se a desaceleração tiver magnitude diferente de a, substitua aí o valor correto; a forma geral é W_3 = 7840 - \tfrac{1}{2}m v^2, onde v é a velocidade no início do estágio 3.

Passo 7

Verificação rápida do total (consistência):\n
O trabalho total feito pelo cabo em toda a elevação de 30\\ \text{m} deve igualar a variação da energia potencial, porque o explorador começa e termina em repouso ( \Delta K_{\text{total}}=0). Logo
W_{\text{total}} = 3\cdot 7840 = 23520\\ \text{J},
e somando as expressões por estágio:
W_1+W_2+W_3 = (7840+800a)+7840+(7840-800a)=23520\\ \text{J},
os termos com a se cancelam, como esperado.
Exemplo numérico comum (se quiser comparar): se a aceleração no primeiro estágio for \,a=1{,}25\\ \text{m/s}^2 (valor que aparece em problemas-texto), então
800a=800\cdot 1{,}25=1000\\ \text{J},
e os trabalhos ficam
W_1=8840\\ \text{J},\quad W_2=7840\\ \text{J},\quad W_3=6840\\ \text{J},
totalizando 23520\\ \text{J}.

Resposta

W_1 = 7840 + 800\,a\\ \text{J}
W_2 = 7840\\ \text{J}
W_3 = 7840 - 800\,a\\ \text{J}

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