Uma equipe de resgate em cavernas levanta um explorador machucado diretamente para cima e para fora de uma depressão por intermédio de um cabo ligado a um motor. O levantamento é realizado em três estágios, cada um requerendo uma distância vertical de 10 m .
finalmente ele é desacelerado até o repouso. Qual o trabalho realizado sobre o explorador de 80 kg pela força até que o levanta em cada estágio?
finalmente ele é desacelerado até o repouso. Qual o trabalho realizado sobre o explorador de 80 kg pela força até que o levanta em cada estágio?
Passo 1
O enunciado diz que um explorador de massa
é levantado verticalmente em três estágios, cada estágio correspondendo a uma distância vertical de
. Ao final ele é trazido ao repouso. A pergunta é: qual o trabalho realizado sobre o explorador pela força (pelo cabo/motor) em cada estágio? \n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
Não foi dada explicitamente a aceleração numérica durante o primeiro estágio nem a desaceleração no último estágio; portanto vamos manter uma notação para a aceleração (se necessária) e obter fórmulas gerais que você pode avaliar substituindo o valor da aceleração que ocorrer no problema da sua prova.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar: o teorema trabalho-energia (muito útil na prova). Ele diz que o trabalho total feito por todas as forças sobre um corpo é igual à variação da energia cinética do corpo:
Aqui queremos o trabalho feito pela força do cabo,
. As forças que atuam são o cabo (para cima) e o peso (gravidade, para baixo). Assim,
O trabalho da gravidade para um deslocamento vertical para cima
é
onde
. Reorganizando para achar o trabalho do cabo:
Essa é a fórmula que vamos aplicar em cada estágio. Explico o que cada termo representa:
-
é a mudança da energia cinética no estágio. -
é a energia necessária para vencer a gravidade (aumentar energia potencial) ao subir .
Passo 3
Calculemos primeiro quanto vale o termo gravitacional para cada estágio (é sempre o mesmo, porque
e
e
são constantes):
Interpretação: independentemente da aceleração, o cabo precisa fornecer pelo menos
por estágio para elevar a energia potencial do explorador em
.
Passo 4
Estágio 1 (acelera para cima, partindo do repouso):\n
- Velocidade inicial
. Seja a velocidade alcançada ao fim do primeiro estágio. A variação da energia cinética é
Se a aceleração constante no estágio for
(para cima), a relação cinemática
dá
portanto
Substituindo em
:
Colocando números (mantendo
simbólico):
pois
.
Passo 5
Estágio 2 (movimento com velocidade constante):\n
- Em movimento a velocidade é constante, então
.
Pelo teorema trabalho-energia:
Interpretação física: todo o trabalho do cabo nesse estágio vai apenas para vencer o peso, não para acelerar o corpo.
Passo 6
Estágio 3 (desacelera até repouso):\n
- Aqui o corpo entra com velocidade
(a mesma obtida no fim do estágio 1, se usarmos simetria) e sai com . Assim
Se a desaceleração de módulo for
(mesma magnitude usada no estágio 1, hipótese comum), então
e
Logo
Em números simbólicos:
Observação: se a desaceleração tiver magnitude diferente de
, substitua aí o valor correto; a forma geral é
, onde
é a velocidade no início do estágio 3.
Passo 7
Verificação rápida do total (consistência):\n
O trabalho total feito pelo cabo em toda a elevação de deve igualar a variação da energia potencial, porque o explorador começa e termina em repouso (
). Logo
O trabalho total feito pelo cabo em toda a elevação de
e somando as expressões por estágio:
os termos com
se cancelam, como esperado.
Exemplo numérico comum (se quiser comparar): se a aceleração no primeiro estágio for
(valor que aparece em problemas-texto), então
e os trabalhos ficam
totalizando
.