Uma sonda de Hall, para medir campos magnéticos, é feita de silício dopado com arsênio, que tem
elétrons de condução por
e uma resistividade de
. A tensão de Hall é medida através de uma fita de silício tipo que é
de largura,
de espessura, e
de comprimento entre as extremidades mais espessas em que está conectado em um circuito de bateria de 1 V . Que tensão será medida através da largura de
da fita quando a sonda é inserida em um campo de 1 kG ?
Passo 1
O enunciado pede: “Que tensão será medida através da largura de
da fita quando a sonda é inserida em um campo de
?”
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
Observações de conversão de unidades que vou usar (vou mostrar agora para não confundir depois):
A pergunta é a tensão de Hall medida através da largura
quando o campo
é aplicado. Para chegar nela precisaremos:
- Calcular a corrente
que atravessa a fita quando a bateria de é aplicada ao longo do comprimento . - Usar a expressão da tensão de Hall em função de
, , , carga do elétron e espessura .
Passo 2
Primeiro: converter dimensões para metros e o campo magnético para tesla.
Agora: calcular a corrente
. Explico as fórmulas usadas:
- Resistência de um condutor retangular é dada por
onde
é a resistividade,
é o comprimento pelo qual a tensão é aplicada e
é a área da seção transversal.
-
A área da seção transversal da fita é
. -
A corrente que passa é dada por lei de Ohm:
Vou calcular passo a passo.
Calcular
:
Calcular
:
Faço a divisão dentro:
Então
Portanto a resistência da fita entre as extremidades é
.
Passo 3
Calcular a corrente
com a bateria de
:
Em miliampères:
Interpretação rápida: essa corrente percorre a fita ao longo do comprimento
; é a corrente que causa o efeito Hall quando o campo
é aplicado perpendicularmente.
Passo 4
Agora vou explicar e usar a fórmula da tensão de Hall. Conceito rápido e derivação física (sem pular passos):
-
Quando cargas (elétrons) se movem com velocidade de deriva
numa corrente e existe um campo magnético perpendicular, cada elétron sofre a força de Lorentz . Isso faz com que cargas se acumulem nas faces laterais até que um campo elétrico de Hall cancele a componente magnética, chegando ao equilíbrio: . -
Do equilíbrio obtemos a magnitude do campo elétrico de Hall:
- A velocidade de deriva está relacionada com a densidade de corrente
por
onde
é a densidade de portadores (neste caso elétrons) e
é a carga elementar,
. Note que aqui uso
como valor positivo e a direção do sinal é tratada separadamente; para o módulo basta esse valor.
- Logo
- Como
e a tensão de Hall entre as faces separadas pela largura é , substituindo:
- Mas
. Substituindo na expressão de , vemos que cancela:
Portanto a fórmula prática que usaremos é
Nessa fórmula:
-
é o campo magnético ( ), -
é a corrente que atravessa a fita ( ), -
é a densidade de elétrons ( ), -
é a carga elementar ( ), -
é a espessura da fita na direção perpendicular ao plano onde o Hall aparece ( ).
Passo 5
Agora aplico a fórmula com os números que já calculei.
Dados numéricos relevantes:
Calculo o denominador
:
Faço em partes:
. Exponenciais:
.
Logo
Logo
Calculo o numerador
:
Agora a tensão de Hall:
Faço a divisão aproximada:
Em unidades mais amigáveis:
Passo 6
Interpretação final e comentário encorajador: a tensão de Hall esperada é da ordem de poucos milivolts, aqui aproximadamente
. Isso é um valor medível com instrumentos comuns (multímetro ou amplificador de sinal), então faz sentido físico. Você já tem todas as etapas para reproduzir esse cálculo na prova: converter unidades, calcular resistência pela resistividade, obter a corrente e aplicar a fórmula da tensão de Hall.