Uma sonda de Hall, para medir campos magnéticos, é feita de silício dopado com arsênio, que tem 2 \times 10^{21} elétrons de condução por \mathrm{m}^{3} e uma resistividade de 0,016 \Omega \cdot \mathrm{~m}. A tensão de Hall é medida através de uma fita de silício tipo que é 0,2 \mathrm{~cm} de largura, 0,005 \mathrm{~cm} de espessura, e 0,5 \mathrm{~cm} de comprimento entre as extremidades mais espessas em que está conectado em um circuito de bateria de 1 V . Que tensão será medida através da largura de 0,2 \mathrm{~cm} da fita quando a sonda é inserida em um campo de 1 kG ?

Passo 1

O enunciado pede: “Que tensão será medida através da largura de 0{,}2\\ \mathrm{cm} da fita quando a sonda é inserida em um campo de 1\\ \mathrm{kG}?”
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
n = 2\times10^{21}\\ \mathrm{elétrons/m^{3}}é
\rho = 0{,}016\\ \Omega\cdot\mathrm{m}
\text{largura } w = 0{,}2\\ \mathrm{cm}
\text{espessura } t = 0{,}005\\ \mathrm{cm}
\text{comprimento entre as extremidades (onde a bateria está ligada) } L = 0{,}5\\ \mathrm{cm}á
V_{\text{bateria}} = 1\\ \mathrm{V}
B = 1\\ \mathrm{kG}
Observações de conversão de unidades que vou usar (vou mostrar agora para não confundir depois):
1\\ \mathrm{cm} = 10^{-2}\\ \mathrm{m}
1\\ \mathrm{G} = 10^{-4}\\ \mathrm{T}\quad\Rightarrow\quad 1\\ \mathrm{kG}=10^{3}\\ \mathrm{G}=0{,}1\\ \mathrm{T}
A pergunta é a tensão de Hall medida através da largura w quando o campo B é aplicado. Para chegar nela precisaremos:
  1. Calcular a corrente I que atravessa a fita quando a bateria de 1\\ \mathrm{V} é aplicada ao longo do comprimento L.
  2. Usar a expressão da tensão de Hall em função de I, B, n, carga do elétron q e espessura t.

Passo 2

Primeiro: converter dimensões para metros e o campo magnético para tesla.
w = 0{,}2\\ \mathrm{cm} = 0{,}002\\ \mathrm{m}
t = 0{,}005\\ \mathrm{cm} = 0{,}00005\\ \mathrm{m} = 5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}
L = 0{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}005\\ \mathrm{m}
B = 1\\ \mathrm{kG} = 0{,}1\\ \mathrm{T}
Agora: calcular a corrente I. Explico as fórmulas usadas:
  • Resistência de um condutor retangular é dada por
R = \rho\,\frac{L}{A},
onde \rho é a resistividade, L é o comprimento pelo qual a tensão é aplicada e A é a área da seção transversal.
  • A área da seção transversal da fita é A = w\cdot t.
  • A corrente que passa é dada por lei de Ohm:
I = \frac{V_{\text{bateria}}}{R}.
Vou calcular passo a passo.
Calcular A:
A = w\cdot t = 0{,}002\\ \mathrm{m}\times 5\times10^{-5}\\ \mathrm{m} = 1\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}}.
Calcular R:
R = \rho\,\frac{L}{A} = 0{,}016\\ \Omega\cdot\mathrm{m}\times\frac{0{,}005\\ \mathrm{m}}{1\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}}}.
Faço a divisão dentro:
\frac{L}{A}=\frac{0{,}005}{1\times10^{-7}}=0{,}005\times10^{7}=5\times10^{4}.
Então
R = 0{,}016\times 5\times10^{4}\\ \Omega = 0{,}08\times10^{4}\\ \Omega = 8\times10^{2}\\ \Omega = 800\\ \Omega.
Portanto a resistência da fita entre as extremidades é R=800\\ \Omega.

Passo 3

Calcular a corrente I com a bateria de 1\\ \mathrm{V}:
I = \frac{V_{\text{bateria}}}{R} = \frac{1\\ \mathrm{V}}{800\\ \Omega} = 1{,}25\times10^{-3}\\ \mathrm{A}.
Em miliampères:
I = 1{,}25\\ \mathrm{mA}.
Interpretação rápida: essa corrente percorre a fita ao longo do comprimento L; é a corrente que causa o efeito Hall quando o campo B é aplicado perpendicularmente.

Passo 4

Agora vou explicar e usar a fórmula da tensão de Hall. Conceito rápido e derivação física (sem pular passos):
  • Quando cargas (elétrons) se movem com velocidade de deriva \vec{v}_d numa corrente e existe um campo magnético \vec{B} perpendicular, cada elétron sofre a força de Lorentz \vec{F} = -q(\vec{v}_d \times \vec{B}). Isso faz com que cargas se acumulem nas faces laterais até que um campo elétrico de Hall \vec{E}_H cancele a componente magnética, chegando ao equilíbrio: -q\vec{E}_H - q(\vec{v}_d\times\vec{B}) = 0.
  • Do equilíbrio obtemos a magnitude do campo elétrico de Hall:
E_H = v_d\,B.
  • A velocidade de deriva está relacionada com a densidade de corrente J por
J = n q v_d,
onde n é a densidade de portadores (neste caso elétrons) e q é a carga elementar, q=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}. Note que aqui uso q como valor positivo e a direção do sinal é tratada separadamente; para o módulo basta esse valor.
  • Logo
v_d = \frac{J}{n q}.
  • Como E_H = v_d B e a tensão de Hall V_H entre as faces separadas pela largura w é V_H = E_H \, w, substituindo:
V_H = (v_d B)\,w = \frac{J}{n q}B\,w.
  • Mas J = \dfrac{I}{A} = \dfrac{I}{w t}. Substituindo J na expressão de V_H, vemos que w cancela:
V_H = \frac{I}{w t}\cdot\frac{B}{n q}\cdot w = \frac{B\,I}{n q\, t}.
Portanto a fórmula prática que usaremos é
\boxed{V_H = \dfrac{B\,I}{n q\, t}.}
Nessa fórmula:
  • B é o campo magnético ( \mathrm{T}),
  • I é a corrente que atravessa a fita ( \mathrm{A}),
  • n é a densidade de elétrons ( \mathrm{m^{-3}}),
  • q é a carga elementar ( \mathrm{C}),
  • t é a espessura da fita na direção perpendicular ao plano onde o Hall aparece ( \mathrm{m}).

Passo 5

Agora aplico a fórmula com os números que já calculei.
Dados numéricos relevantes:
B = 0{,}1\\ \mathrm{T},\quad I = 1{,}25\times10^{-3}\\ \mathrm{A},\quad n = 2\times10^{21}\\ \mathrm{m^{-3}},
q = 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C},\quad t = 5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Calculo o denominador n q t:
n q t = 2\times10^{21}\times 1{,}602\times10^{-19}\times 5\times10^{-5}.
Faço em partes: 2\times 1{,}602\times 5 = 16{,}02. Exponenciais: 10^{21}\times10^{-19}\times10^{-5}=10^{-3}.
Logo
n q t = 16{,}02\times10^{-3} = 0{,}01602.
Calculo o numerador B I:
B I = 0{,}1\times 1{,}25\times10^{-3} = 1{,}25\times10^{-4}.
Agora a tensão de Hall:
V_H = \frac{B I}{n q t} = \frac{1{,}25\times10^{-4}}{0{,}01602}.
Faço a divisão aproximada:
V_H \approx 7{,}80\times10^{-3}\\ \mathrm{V}.
Em unidades mais amigáveis:
V_H \approx 7{,}80\\ \mathrm{mV}.

Passo 6

Interpretação final e comentário encorajador: a tensão de Hall esperada é da ordem de poucos milivolts, aqui aproximadamente 7{,}8\\ \mathrm{mV}. Isso é um valor medível com instrumentos comuns (multímetro ou amplificador de sinal), então faz sentido físico. Você já tem todas as etapas para reproduzir esse cálculo na prova: converter unidades, calcular resistência pela resistividade, obter a corrente e aplicar a fórmula da tensão de Hall.

Resposta

7{,}8\\ \mathrm{mV}

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