O que está errado nesta solução? A reação irreversível de segunda ordem em fase líquida ( -r_{\mathrm{A}}=k \mathrm{C}_{\mathrm{A}}{ }^{2} )
2 \mathrm{~A} \xrightarrow{k_{1}} \mathrm{~B} \quad k_{1}=0,03 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{mol} \cdot \mathrm{~s}
é conduzida em um CSTR. A concentração de entrada de A, C_{\mathrm{A} 0}, é de 2 mols, e a concentração de saída de A , C_{\mathrm{A}}, é de 0,1 mol . A vazão volumétrica, v_{0}, é constante igual a 3 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{s}. Qual é o volume do reator?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado):
  • Reação: 2\mathrm{A}\longrightarrow\mathrm{B}.
  • Lei de velocidade informada: -r_{\mathrm{A}} = k\,C_{\mathrm{A}}^{2} com k=0{,}03\\ \mathrm{dm}^{3}\!/\mathrm{mol}\cdot\mathrm{s}.
  • Concentração de alimentação: C_{\mathrm{A}0}=2 (interpreto isto como 2\\ \mathrm{mol}\!/\mathrm{dm}^{3}; o enunciado omitiu a unidade, mas assim fica consistente com k e v_{0}).
  • Concentração de saída: C_{\mathrm{A}}=0{,}1 (interpreto como 0{,}1\\ \mathrm{mol}\!/\mathrm{dm}^{3}).
  • Vazão volumétrica: v_{0}=3\\ \mathrm{dm}^{3}\!/\mathrm{s}.
  • Pedido: determinar o volume V do CSTR em regime estacionário.
Observação importante de leitura: a notação -r_{\mathrm{A}} = k C_{\mathrm{A}}^{2} já dá explicitamente a velocidade de consumo de A (ou seja, -r_{\mathrm{A}} é positivo e igual a kC_A^2). Não inventar fatores de 2 ou sinais diferentes — seguir exatamente a definição dada.

Passo 2

Equação de balanço material para espécie A num CSTR em regime estacionário:
\text{acumulação} = 0 = \text{entrada} - \text{saída} + \text{geração (ou consumo) por reação}.çãíçãçã
Escrevendo cada termo:
  • vazão molar de entrada de A: v_{0}\,C_{\mathrm{A}0};
  • vazão molar de saída de A: v_{0}\,C_{\mathrm{A}};
  • termo de reação (taxa volumétrica de formação de A): V\,r_{\mathrm{A}}.
Assim, a equação fica
0 = v_{0}C_{\mathrm{A}0} - v_{0}C_{\mathrm{A}} + V r_{\mathrm{A}}.
Explicando sinais: r_{\mathrm{A}} é a taxa de formação (podendo ser negativa se A é consumida). O enunciado deu -r_{\mathrm{A}}=kC_{\mathrm{A}}^{2}, então r_{\mathrm{A}}=-kC_{\mathrm{A}}^{2}. Substituindo e isolando V obtemos a expressão prática para o volume:
V = \frac{v_{0}\bigl(C_{\mathrm{A}0}-C_{\mathrm{A}}\bigr)}{-r_{\mathrm{A}}}.
Como -r_{\mathrm{A}}=kC_{\mathrm{A}}^{2}, isso é equivalente a
V = \frac{v_{0}\bigl(C_{\mathrm{A}0}-C_{\mathrm{A}}\bigr)}{k\,C_{\mathrm{A}}^{2}}.

Passo 3

Substituir os valores numéricos passo a passo (tudo em unidades consistentes: \mathrm{dm}^{3} e \mathrm{s}):
Calcular a diferença de concentrações:
C_{\mathrm{A}0}-C_{\mathrm{A}} = 2 - 0{,}1 = 1{,}9\\ \mathrm{mol}\!/\mathrm{dm}^{3}.
Calcular o numerador (vazão volumétrica vezes diferença de concentrações):
v_{0}\bigl(C_{\mathrm{A}0}-C_{\mathrm{A}}\bigr) = 3 \times 1{,}9 = 5{,}7\\ \mathrm{mol}\!/\mathrm{s}.
Calcular o denominador k C_{\mathrm{A}}^{2}:
k C_{\mathrm{A}}^{2} = 0{,}03 \times (0{,}1)^{2} = 0{,}03 \times 0{,}01 = 0{,}0003\\ \frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{dm}^{3}\cdot\mathrm{s}}.
Colocando na fórmula:
V = \frac{5{,}7\\ \mathrm{mol}\!/\mathrm{s}}{0{,}0003\\ \mathrm{mol}\!/\mathrm{dm}^{3}\cdot\mathrm{s}}.

Passo 4

Verificação de unidade e interpretação:
  • As unidades cancelam corretamente: \dfrac{\mathrm{mol}/\mathrm{s}}{\mathrm{mol}/(\mathrm{dm}^{3}\cdot\mathrm{s})}=\mathrm{dm}^{3}, ou seja V sai em \mathrm{dm}^{3}.
  • Possíveis erros comuns que geram soluções erradas:
    1. Interpretação equivocada da expressão de velocidade — inserir um fator 2 porque a estequiometria é 2\mathrm{A}\to\mathrm{B}. Atenção: o enunciado já definiu -r_{\mathrm{A}}=kC_A^2. Não se deve multiplicar por 2 a menos que a definição do enunciado fosse diferente (por exemplo, se fosse dada a velocidade da “reação” e não a velocidade de consumo de A).
    2. Esquecer unidades de concentração (usar “2 mols” em vez de 2\\ \mathrm{mol}\!/\mathrm{dm}^{3}) ou misturar litros e \mathrm{dm}^{3} sem conversão. Aqui 1\\ \mathrm{dm}^{3}=1\\ \mathrm{L}.
    3. Usar a fórmula de reator descontínuo (batelada) ou PFR em vez do balanço de CSTR.
    4. Erro aritmético simples ao dividir números pequenos (como 0{,}0003).
  • Como checagem extra, pode-se calcular o tempo de residência \tau = V/v_{0} (se quiser saber se o valor faz sentido operacionalmente).

Resposta

V = 1{,}9\times10^{4}\\ \mathrm{dm}^{3} = 19\\ \mathrm{m}^{3}

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