A reação
\mathrm{A} \longrightarrow \mathrm{~B}
deve ser conduzida isotermicamente em um reator de escoamento contínuo. A vazão volumétrica de entrada v_{0} é de 10 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{h}. (Nota: F_{\mathrm{A}}=C_{\mathrm{A}} v. Para uma vazão volumétrica constante, v=v_{0}; então, F_{\mathrm{A}}=C_{\mathrm{A}} v_{0}. Também, C_{\mathrm{A} 0}=F_{\mathrm{A} 0} / v_{0}=\left([5 \mathrm{~mol} / \mathrm{h}] /\left[10 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{h}\right]\right)=0,5 \mathrm{mol} / \mathrm{dm}^{3}.) Calcule os volumes de ambos os reatores CSTR e PFR necessários para consumir 99 \% de A (isto é, C_{\mathrm{A}}=0,01 C_{\mathrm{A} 0} ) quando a vazão molar de entrada for de 5 \mathrm{~mol} / \mathrm{h}, assumindo que a velocidade de reação -r_{\mathrm{A}} é:
Repita (a), (b), e/ou (c) para calcular o tempo necessário para consumir 99,9 \% da espécie A em um reator batelada de volume constante, igual a 1000 \mathrm{dm}^{3}, com
C_{\mathrm{A} 0}=0,5 \mathrm{~mol} / \mathrm{dm}^{3}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • Reação: \mathrm{A}\longrightarrow \mathrm{B}.
  • Vazão volumétrica de entrada: v_{0}=10\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h}.
  • Vazão molar de entrada: F_{A0}=5\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}.
  • Concentração de entrada calculada (nota do enunciado): C_{A0}=F_{A0}/v_{0}=(5\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h})/(10\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h})=0,5\\ \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^{3}.
  • Objetivo 1: calcular os volumes necessários dos reatores CSTR e PFR para consumir 99\% de A, isto é, atingir C_{A}=0,01\,C_{A0} (conversão X=0,99).
  • Objetivo 2: repetir (a)/(b)/(c) para calcular o tempo necessário para consumir 99{,}9\% de A ( X=0,999) em um reator batelada de volume constante V=1000\\ \mathrm{dm}^{3} com C_{A0}=0,5\\ \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^{3}.
  • Informação essencial NÃO fornecida no enunciado: a expressão explícita e/ou constantes numéricas da velocidade de reação -r_{A}. Sem a lei cinética e/ou o valor de k não é possível obter valores numéricos absolutos dos volumes ou tempos; posso, porém, derivar as fórmulas de projeto e dar as expressões numéricas em função de k para as leis cinéticas mais comuns (ordem zero, primeira ordem e segunda ordem). Vou fazer isso passo a passo, mostrando o raciocínio e como proceder na prova.

Passo 2

Relações gerais de balanço e definição de conversão (aulas rapidinhas e úteis antes de calcular).
  • Balanço em regime permanente para CSTR (estado estacionário, único fluxo de entrada e saída, reação homogênea):
F_{A0}-F_{A}+r_{A}V=0,
onde F_{A}=C_{A}v_{0} e r_{A} é negativo para consumo. Reescrevendo para o volume:
V=\frac{F_{A0}-F_{A}}{-r_{A}}=\frac{F_{A0}X}{-r_{A}(C_{A})},
onde a conversão é definida por X=\dfrac{F_{A0}-F_{A}}{F_{A0}}=1-\dfrac{C_{A}}{C_{A0}}. Importante: para o CSTR, o termo -r_{A} deve ser avaliado na concentração de saída C_{A}=C_{A0}(1-X).
  • Fórmula de projeto do PFR (reator pistão, fluxo plug; expressão integral):
V=F_{A0}\int_{0}^{X}\frac{dX}{-r_{A}(X)}.
Aqui -r_{A} é escrito como função de X através de C_{A}=C_{A0}(1-X).
  • Reator batelada (volume constante): a variação temporal é dada por
\frac{dC_{A}}{dt}=-r_{A}(C_{A}).
O tempo necessário para ir de C_{A0} a C_{A}=C_{A0}(1-X) é
t=\int_{C_{A0}}^{C_{A0}(1-X)}\frac{dC_{A}}{-r_{A}(C_{A})} = \;C_{A0}\int_{0}^{X}\frac{dX}{-r_{A}(X)}
(é a mesma integral do PFR multiplicada por C_{A0}/F_{A0} vez que F_{A0}=C_{A0}v_{0}; observe que o tempo de um batelada depende só da cinética e da C_{A0}, não do volume absoluto, quando a mistura é homogênea).
Vou aplicar essas fórmulas para as leis cinéticas padrão: (i) ordem zero -r_{A}=k; (ii) primeira ordem -r_{A}=k C_{A}; (iii) segunda ordem -r_{A}=k C_{A}^{2}. Em cada caso vou substituir C_{A}=C_{A0}(1-X), usar F_{A0}=5\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h} e C_{A0}=0,5\\ \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^{3} e colocar o resultado em função de k. Também indico as unidades típicas de k para conferência quando for calcular numericamente.

Passo 3

Cálculo do volume do CSTR para conversão X=0,99 (usar C_{A}=C_{A0}(1-X)=0,5\times0,01=0,005\\ \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^{3}).
  • Ordem zero ( -r_{A}=k, unidades de k: \mathrm{mol}/(\mathrm{dm}^{3}\cdot\mathrm{h}))
V_{\mathrm{CSTR}}=\frac{F_{A0}X}{k}=\frac{5\cdot0,99}{k}=\frac{4,95}{k}\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Primeira ordem ( -r_{A}=kC_{A}=kC_{A0}(1-X), unidades de k: \mathrm{h}^{-1})
V_{\mathrm{CSTR}}=\frac{F_{A0}X}{kC_{A0}(1-X)} =\frac{5\cdot0,99}{k\cdot0,5\cdot0,01} =\frac{4,95}{0,005\,k}=\frac{990}{k}\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Segunda ordem ( -r_{A}=kC_{A}^{2}=kC_{A0}^{2}(1-X)^{2}, unidades de k: \mathrm{dm}^{3}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{h}))
V_{\mathrm{CSTR}}=\frac{F_{A0}X}{kC_{A0}^{2}(1-X)^{2}} =\frac{4,95}{k\cdot(0,5)^{2}\cdot(0,01)^{2}} =\frac{4,95}{k\cdot2{,}5\times10^{-5}} =\frac{1{,}98\times10^{5}}{k}\\ \mathrm{dm}^{3}.

Passo 4

Cálculo do volume do PFR para conversão X=0,99 (usar a integral V=F_{A0}\int_{0}^{X}\!dX/(-r_{A})):
  • Ordem zero ( -r_{A}=k):
V_{\mathrm{PFR}}=F_{A0}\frac{X}{k}=\frac{4,95}{k}\\ \mathrm{dm}^{3},
que é igual ao resultado do CSTR para ordem zero (justificativa: quando a velocidade não depende de C_{A}, não há ganho em usar um PFR).
  • Primeira ordem ( -r_{A}=kC_{A0}(1-X)):
V_{\mathrm{PFR}}=F_{A0}\int_{0}^{X}\frac{dX}{kC_{A0}(1-X)} =\frac{F_{A0}}{kC_{A0}}\left[-\ln(1-X)\right]_{0}^{X} =\frac{F_{A0}}{kC_{A0}}\ln\!\left(\frac{1}{1-X}\right).
Substituindo números:
\frac{F_{A0}}{C_{A0}}= \frac{5}{0,5}=10\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h},
logo para X=0,99,
V_{\mathrm{PFR}}=\frac{10}{k}\ln\!\left(\frac{1}{0,01}\right)=\frac{10\ln(100)}{k}\approx\frac{46{,}05}{k}\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Segunda ordem ( -r_{A}=kC_{A0}^{2}(1-X)^{2}):
V_{\mathrm{PFR}}=F_{A0}\int_{0}^{X}\frac{dX}{kC_{A0}^{2}(1-X)^{2}} =\frac{F_{A0}}{kC_{A0}^{2}}\left[\frac{1}{1-X}-1\right]_{0}^{X}.
Substituindo números e X=0,99:
\frac{F_{A0}}{C_{A0}^{2}}=\frac{5}{(0,5)^{2}}=\frac{5}{0,25}=20,
então
V_{\mathrm{PFR}}=\frac{20}{k}\left(\frac{1}{0,01}-1\right)=\frac{20}{k}(100-1)=\frac{1980}{k}\\ \mathrm{dm}^{3}.

Passo 5

Tempo em reator batelada para atingir X=0,999 (usar fórmulas de integração do batelada; notar que o volume de 1000\\ \mathrm{dm}^{3} não altera o tempo para uma reação homogênea numa mistura perfeitamente agitada — o tempo depende de C_{A0} e da cinética).
  • Ordem zero ( -r_{A}=k):
t=\frac{C_{A0}-C_{A}}{k}=\frac{C_{A0}(1-(1-X))}{k}=\frac{C_{A0}X}{k}.
Para X=0,999 e C_{A0}=0,5:
t=\frac{0,5\cdot0,999}{k}=\frac{0,4995}{k}\\ \mathrm{h}.
  • Primeira ordem ( -r_{A}=kC_{A}, solução exponencial):
C_{A}=C_{A0}e^{-kt}\quad\Rightarrow\quad t=\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{C_{A0}}{C_{A}}\right)=\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{1}{1-X}\right).
Para X=0,999:
t=\frac{\ln(1000)}{k}\approx\frac{6{,}9078}{k}\\ \mathrm{h}.
  • Segunda ordem ( -r_{A}=kC_{A}^{2}, integral \int dC_{A}/C_{A}^{2}= -kt):
\frac{1}{C_{A}}-\frac{1}{C_{A0}}=kt \quad\Rightarrow\quad t=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{C_{A}}-\frac{1}{C_{A0}}\right) =\frac{1}{kC_{A0}}\left(\frac{1}{1-X}-1\right).
Para X=0,999 e C_{A0}=0,5:
t=\frac{1}{0,5\,k}\left(\frac{1}{0,001}-1\right)=\frac{2}{k}(1000-1)=\frac{1998}{k}\\ \mathrm{h}.

Passo 6

Interpretação prática e checagem de unidades (como usar na prova e para avaliar números):
  • Para cada resposta obtida acima, plugue o valor numérico de k com a unidade correta:
    • ordem zero: k em \mathrm{mol}/(\mathrm{dm}^{3}\cdot\mathrm{h});
    • primeira ordem: k em \mathrm{h}^{-1};
    • segunda ordem: k em \mathrm{dm}^{3}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{h}).
  • Exemplo rápido de interpretação: para primeira ordem, V_{\mathrm{PFR}}\approx46{,}05/k. Se k=0,1\\ \mathrm{h}^{-1}, então V_{\mathrm{PFR}}\approx460{,}5\\ \mathrm{dm}^{3} e V_{\mathrm{CSTR}}=990/0{,}1=9900\\ \mathrm{dm}^{3} — observa-se que CSTR pode precisar muito mais volume quando a reação é dependente fortemente da concentração (a saída baixa do CSTR reduz o termo -r_{A} no denominador).
  • Se quiser, eu posso agora calcular valores numéricos concretos para cada caso se você me fornecer os valores de k (ou confirmar que deseje que eu use valores típicos exemplares). Força aí — você já deu os dados principais; falta só a cinética numérica. Vai dar certo!

Resposta

CSTR, X=0,99:
V_{\mathrm{CSTR}}(\text{ordem zero})=\dfrac{4,95}{k}\\ \mathrm{dm}^{3}
V_{\mathrm{CSTR}}(\text{primeira ordem})=\dfrac{990}{k}\\ \mathrm{dm}^{3}
V_{\mathrm{CSTR}}(\text{segunda ordem})=\dfrac{1{,}98\times10^{5}}{k}\\ \mathrm{dm}^{3}
PFR, X=0,99:
V_{\mathrm{PFR}}(\text{ordem zero})=\dfrac{4,95}{k}\\ \mathrm{dm}^{3}
V_{\mathrm{PFR}}(\text{primeira ordem})=\dfrac{10\ln(100)}{k}\approx\dfrac{46{,}05}{k}\\ \mathrm{dm}^{3}
V_{\mathrm{PFR}}(\text{segunda ordem})=\dfrac{1980}{k}\\ \mathrm{dm}^{3}
Batelada, tempo para X=0,999 ( V=1000\\ \mathrm{dm}^{3}, C_{A0}=0,5\\ \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^{3}):
t(\text{ordem zero})=\dfrac{0,4995}{k}\\ \mathrm{h}
t(\text{primeira ordem})=\dfrac{\ln(1000)}{k}\approx\dfrac{6{,}9078}{k}\\ \mathrm{h}
t(\text{segunda ordem})=\dfrac{1998}{k}\\ \mathrm{h}

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