A reação
\mathrm{A} \longrightarrow \mathrm{~B}
deve ser conduzida isotermicamente em um reator de escoamento contínuo. A vazão volumétrica de entrada v_{0} é de 10 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{h}. (Nota: F_{\mathrm{A}}=C_{\mathrm{A}} v. Para uma vazão volumétrica constante, v=v_{0}; então, F_{\mathrm{A}}=C_{\mathrm{A}} v_{0}. Também, C_{\mathrm{A} 0}=F_{\mathrm{A} 0} / v_{0}=\left([5 \mathrm{~mol} / \mathrm{h}] /\left[10 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{h}\right]\right)=0,5 \mathrm{mol} / \mathrm{dm}^{3}.) Calcule os volumes de ambos os reatores CSTR e PFR necessários para consumir 99 \% de A (isto é, C_{\mathrm{A}}=0,01 C_{\mathrm{A} 0} ) quando a vazão molar de entrada for de 5 \mathrm{~mol} / \mathrm{h}, assumindo que a velocidade de reação -r_{\mathrm{A}} é:
-r_{\mathrm{A}}=k C_{\mathrm{A}}^{2} com k=300 \mathrm{dm} 3 / \mathrm{mol} / \mathrm{h} \quad

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Reação: \mathrm{A}\longrightarrow\mathrm{B}.
    • Vazão volumétrica constante: v_{0}=10\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h}.
    • Vazão molar de entrada: F_{\mathrm{A}0}=5\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}.
    • Velocidade de reação: -r_{\mathrm{A}}=k C_{\mathrm{A}}^{2} com k=300\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{mol}/\mathrm{h}.
    • Deseja-se consumir 99\% de A, isto é a concentração de saída deve ser C_{\mathrm{A}}=0{,}01\,C_{\mathrm{A}0}.
  • Quantidades que devemos calcular:
    1. Volume do CSTR necessário para atingir 99\% de consumo de A.
    2. Volume do PFR necessário para atingir 99\% de consumo de A.
  • Observações e relações úteis (fornecidas ou básicas):
    • F_{\mathrm{A}}=C_{\mathrm{A}} v. Para vazão constante v=v_{0}, logo F_{\mathrm{A}}=C_{\mathrm{A}} v_{0}.
    • C_{\mathrm{A}0}=F_{\mathrm{A}0}/v_{0} (concentração de entrada).
    • Para CSTR em regime estacionário: V=\dfrac{F_{\mathrm{A}0}-F_{\mathrm{A}}}{(-r_{\mathrm{A}})_{\text{saída}}}í.
    • Para PFR (balanço diferencial): dF_{\mathrm{A}}/dV=-r_{\mathrm{A}}, que integra para V=\int_{F_{\mathrm{A}0}}^{F_{\mathrm{A}}}\dfrac{dF_{\mathrm{A}}}{-r_{\mathrm{A}}}. Com F_{\mathrm{A}}=C_{\mathrm{A}}v_{0} isso pode ser escrito em termos de C_{\mathrm{A}}.
A resolução numérica começa agora.

Passo 2

Calcular concentrações e fluxos que usaremos.
  • Concentração inicial:
C_{\mathrm{A}0}=\dfrac{F_{\mathrm{A}0}}{v_{0}}=\dfrac{5\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}}{10\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h}}=0{,}5\\ \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^{3}.
  • Concentração de saída exigida ( 99\% consumido):
C_{\mathrm{A}}=0{,}01\,C_{\mathrm{A}0}=0{,}01\times 0{,}5=0{,}005\\ \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^{3}.
  • Fluxos molares correspondentes (com v_{0}=10\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h}):
F_{\mathrm{A}0}=5\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}\quad(\text{dado}),
F_{\mathrm{A}}=C_{\mathrm{A}} v_{0}=0{,}005\times 10=0{,}05\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}.
  • Verificação da velocidade de reação na saída:
(-r_{\mathrm{A}})_{\text{saída}}=k C_{\mathrm{A}}^{2}=300\times(0{,}005)^{2}.í
Calculemos (0{,}005)^{2}=0{,}000025. Assim
(-r_{\mathrm{A}})_{\text{saída}}=300\times 0{,}000025=0{,}0075\\ \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h}.í

Passo 3

Cálculo do volume do CSTR (explicando a fórmula e o raciocínio).
  • Fundamento teórico (explicado com calma):
    • No CSTR em regime estacionário, a composição no reator é uniforme e igual à da saída. O balanço molar global para A em estado estacionário é:
    \text{entrada de A} - \text{saída de A} + \text{produção} = 0.íçã
    Como a reação consome A, a “produção” é negativa e vale (-r_{\mathrm{A}})V. Assim:
    F_{\mathrm{A}0}-F_{\mathrm{A}} - (-r_{\mathrm{A}})V=0.
    Isolando V obtemos a fórmula de projeto usual:
    V=\dfrac{F_{\mathrm{A}0}-F_{\mathrm{A}}}{(-r_{\mathrm{A}})_{\text{saída}}}.í
    • Aqui:
      • F_{\mathrm{A}0} e F_{\mathrm{A}} têm unidades \mathrm{mol}/\mathrm{h}.
      • (-r_{\mathrm{A}}) tem unidades \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h}.
      • Logo V sai em \mathrm{dm}^{3}, pois (\mathrm{mol}/\mathrm{h})/(\mathrm{mol}/\mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h})=\mathrm{dm}^{3}.
  • Aplicando números:
F_{\mathrm{A}0}-F_{\mathrm{A}}=5-0{,}05=4{,}95\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}.
(-r_{\mathrm{A}})_{\text{saída}}=0{,}0075\\ \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h}.í
Portanto
V_{\text{CSTR}}=\dfrac{4{,}95}{0{,}0075}=660\\ \mathrm{dm}^{3}.
Interpretação rápida (didática): no CSTR usamos a taxa avaliada na saída (que é baixa, porque C_{\mathrm{A}} ficou pequeno), então precisamos de muito volume para permitir que a baixa taxa globalmente consuma a massa necessária.

Passo 4

Cálculo do volume do PFR com integração (explicando cada passo e o conceito).
  • Fundamento teórico (explicado com calma):
    • No PFR (reactor de fluxo pistão) assume-se que não há mistura axial: a composição varia ao longo do comprimento, e cada “fatia” tem equilíbrio local. O balanço diferencial para A é
    \dfrac{dF_{\mathrm{A}}}{dV}=-r_{\mathrm{A}}.
    • Como F_{\mathrm{A}}=C_{\mathrm{A}} v_{0} (vazão volumétrica constante), temos
    v_{0}\dfrac{dC_{\mathrm{A}}}{dV}=-r_{\mathrm{A}}\quad\Longrightarrow\quad dV = v_{0}\dfrac{dC_{\mathrm{A}}}{-r_{\mathrm{A}}}.
    • Integrando desde a entrada ( C_{\mathrm{A}0}) até a saída ( C_{\mathrm{A}}):
    V_{\text{PFR}}=v_{0}\int_{C_{\mathrm{A}0}}^{C_{\mathrm{A}}}\dfrac{dC_{\mathrm{A}}}{-r_{\mathrm{A}}}.
    • Como -r_{\mathrm{A}}=k C_{\mathrm{A}}^{2}, o integrando fica dC_{\mathrm{A}}/(k C_{\mathrm{A}}^{2}). Para manter V>0 é mais prático trocar os limites e escrever
    V_{\text{PFR}}=v_{0}\int_{C_{\mathrm{A}}}^{C_{\mathrm{A}0}}\dfrac{dC_{\mathrm{A}}}{k C_{\mathrm{A}}^{2}}=\dfrac{v_{0}}{k}\int_{C_{\mathrm{A}}}^{C_{\mathrm{A}0}}C_{\mathrm{A}}^{-2}dC_{\mathrm{A}}.
    • A primitiva de C^{-2} é -1/C. Assim a integral avaliada é \left[-\dfrac{1}{C_{\mathrm{A}}}\right]_{C_{\mathrm{A}}}^{C_{\mathrm{A}0}}=\dfrac{1}{C_{\mathrm{A}}}-\dfrac{1}{C_{\mathrm{A}0}}.
    • Logo a expressão fechada:
    V_{\text{PFR}}=\dfrac{v_{0}}{k}\left(\dfrac{1}{C_{\mathrm{A}}}-\dfrac{1}{C_{\mathrm{A}0}}\right).
  • Aplicando números:
\dfrac{1}{C_{\mathrm{A}}}=\dfrac{1}{0{,}005}=200\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{mol},
\dfrac{1}{C_{\mathrm{A}0}}=\dfrac{1}{0{,}5}=2\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{mol},
\dfrac{1}{C_{\mathrm{A}}}-\dfrac{1}{C_{\mathrm{A}0}}=200-2=198.
V_{\text{PFR}}=\dfrac{v_{0}}{k}\times 198=\dfrac{10}{300}\times 198=\dfrac{1980}{300}=6{,}6\\ \mathrm{dm}^{3}.
Breve comentário didático: no PFR a concentração ao longo do reator é maior em trechos iniciais, onde a reação é mais rápida, então a conversão se dá com muito menos volume do que no CSTR, onde toda a massa está na baixa concentração de saída.

Passo 5

Resumo interpretativo final (rápido incentivo e intuição).
  • Resultado mostra grande diferença entre os reatores: o CSTR precisa de volume muito maior porque a taxa de reação em um CSTR é controlada pela concentração de saída (muito baixa aqui), enquanto no PFR existe uma região inicial de altas concentrações que reage rapidamente, economizando volume.
  • Força: já entende a fórmula do CSTR e a integração do PFR; isso é a base para muitos problemas de dimensionamento de reatores — prática importante para a prova. Vai dar certo!

Resposta

CSTR: 660\\ \mathrm{dm}^{3}
PFR: 6{,}6\\ \mathrm{dm}^{3}

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