Use a regra da cadeia para encontrar \frac{d y}{d x} :
\left\{\begin{array}{l}x=\operatorname{arccos} \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}} \\\ y=\operatorname{arcsen} \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\end{array}\right.;

Passo 1

O enunciado fornece as funções paramétricas
x=\operatorname{arccos}\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}
e
y=\arcsin\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}.
Para encontrar \frac{dy}{dx} vamos usar a regra da cadeia em função de t, ou seja,
\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.

Passo 2

Definimos
u(t)=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}=(1+t^{2})^{-\tfrac12}.
Aplicando a derivada em relação a t por regra da cadeia, vem
\frac{du}{dt} =-\tfrac12(1+t^{2})^{-\tfrac32}\cdot 2t =-\frac{t}{(1+t^{2})^{\tfrac32}}.

Passo 3

Para \displaystyle x=\operatorname{arccos} u usamos
\frac{dx}{dt} =-\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,\frac{du}{dt}.
Como
\sqrt{1-u^{2}} =\sqrt{1-\frac{1}{1+t^{2}}} =\frac{|t|}{\sqrt{1+t^{2}}},
substituindo \frac{du}{dt} e simplificando (o valor absoluto de t acaba cancelando) obtém-se
\frac{dx}{dt} =-\frac{1}{\tfrac{|t|}{\sqrt{1+t^{2}}}} \Bigl(-\frac{t}{(1+t^{2})^{\tfrac32}}\Bigr) =\frac{1}{1+t^{2}}.

Passo 4

Para \displaystyle y=\arcsin u aplica-se
\frac{dy}{dt} =\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,\frac{du}{dt},
e seguindo o mesmo raciocínio chega-se a
\frac{dy}{dt} =-\frac{1}{1+t^{2}}.

Passo 5

Finalmente, dividindo as derivadas paramétricas
\frac{dy}{dx} =\frac{-\frac{1}{1+t^{2}}}{\frac{1}{1+t^{2}}} =-1.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=-1

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