Esboçar o gráfico de f(x)=\operatorname{arcsen}\left(1-x^{2 / 3}\right).

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de
f(x)=\arcsin\bigl(1 - x^{2/3}\bigr).
O conteúdo envolvido é composição de função potência x^{2/3} com uma reta e a função \arcsin. Vamos precisar determinar domínio, simetria, valores notáveis e comportamento de derivada para entender a forma da curva.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo que o argumento de \arcsin esteja em [-1,1].
-1 \le 1 - x^{2/3} \le 1 \quad\Longrightarrow\quad 0 \le x^{2/3} \le 2 \quad\Longrightarrow\quad |x| \le (2)^{3/2}=2\sqrt{2}.
Logo o domínio é
x\in \bigl[-2\sqrt{2},\,2\sqrt{2}\bigr].

Passo 3

Como x^{2/3} é uma função par, f(-x)=f(x), então o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Os pontos-chave são:
x=0\colon\quad f(0)=\arcsin(1-0)=\arcsin(1)=\frac{\pi}{2},
x=\pm 2\sqrt{2}\colon\quad f\bigl(\pm 2\sqrt{2}\bigr)=\arcsin\bigl(1-2\bigr)=\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}.
A imagem vai de -\tfrac{\pi}{2} até \tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Para entender a forma, avaliamos qualitativamente a derivada. Usando cadeia:
f'(x) =\frac{1}{\sqrt{1-(1 - x^{2/3})^2}}\cdot\bigl(-\tfrac{2}{3}x^{-1/3}\bigr).
Em x=0 o termo x^{-1/3} diverge, e em x=\pm2\sqrt{2} o denominador \sqrt{1-u^2} com u=1-x^{2/3}=-1 também diverge. Isso indica tangentes verticais em x=0 e em x=\pm2\sqrt{2}. Para x>0, f'(x)<0, logo a função é estritamente decrescente no intervalo [0,2\sqrt{2}].

Passo 5

Reunindo os resultados, o esboço é uma curva em forma de “arco invertido” definida em [-2\sqrt{2},2\sqrt{2}], simétrica em relação ao eixo y, com ponto máximo \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr), ponto mínimo nos extremos \bigl(\pm2\sqrt{2},-\tfrac{\pi}{2}\bigr) e tangentes verticais em x=0 e x=\pm2\sqrt{2}.

Resposta

O gráfico de f(x) é uma curva simétrica em relação ao eixo y, definida para
x\in\bigl[-2\sqrt{2},2\sqrt{2}\bigr],
com
f(0)=\frac{\pi}{2},\quad f\bigl(\pm2\sqrt{2}\bigr)=-\frac{\pi}{2},
monotonamente decrescente em [0,2\sqrt{2}] e tangentes verticais em x=0 e x=\pm2\sqrt{2}.

Exercícios relacionados