Esboçar o gráfico de f(x)=x \arctan x.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=x\arctan x.
Vamos usar cálculo de funções reais: determinar domínio, continuidade, simetria, derivadas para monotonia e concavidade, limites em \pm\infty e assíntotas oblíquas, e então montar o esboço.

Passo 2

Domínio e interceptos
O termo \arctan x está definido para todo x\in\mathbb{R}, logo
\mathrm{dom}\,f=\mathbb{R}.
Como produto de funções contínuas, f é contínua em \mathbb{R}. Em x=0 temos
f(0)=0\cdot\arctan0=0,
portanto o único intercepto com os eixos é o ponto (0,0).

Passo 3

Simetria
Para verificar paridade, calcule
f(-x)=(-x)\,\arctan(-x)=(-x)(-\arctan x)=x\arctan x=f(x).
Logo f é função par e o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 4

Monotonia
A derivada é
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[x\arctan x\bigr] =\arctan x + x\cdot\frac{1}{1+x^2}.
Para x>0 cada parcela é positiva, então f'(x)>0. Para x<0 ambas são negativas, logo f'(x)<0. Em x=0 tem-se f'(0)=0. Concluímos que
- f decresce em (- fty,0),
- f cresce em (0,\infty),
- há mínimo global em x=0, com valor f(0)=0.

Passo 5

Concavidade
A segunda derivada vale
f''(x) =\frac{1}{1+x^2}+\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} =\frac{2}{(1+x^2)^2}>0\quad\forall x.
Portanto f é estritamente convexa (concavidade voltada para cima) em todo \mathbb{R}.

Passo 6

Limites em \pm\infty e assíntotas
Como \lim_{x\to\infty}\arctan x=\tfrac{\pi}{2}, para x\to\infty
f(x)=x\arctan x =\frac{\pi}{2}\,x-1+o(1),
o que gera a assíntota oblíqua
y=\frac{\pi}{2}\,x-1.
Pela paridade, para x\to-\infty surge a assíntota
y=-\frac{\pi}{2}\,x-1.

Passo 7

Esboço do gráfico
Reunindo tudo:
- f é par e contínua em \mathbb{R}.
- Tem mínimo global em (0,0), decresce de +\infty até (0,0) em (- fty,0) e cresce de (0,0) até +\infty em (0,\infty).
- É convexa e aproxima-se das retas
y=\frac{\pi}{2}x-1 \quad\text{e}\quad y=-\frac{\pi}{2}x-1
para x\to\pm\infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=x\arctan x é uma curva convexa e par, com mínimo global em (0,0), que decresce de +\infty até esse ponto para x<0 e cresce para +\infty em x>0, apresentando assíntotas oblíquas
y=\frac{\pi}{2}x-1 \quad\text{e}\quad y=-\frac{\pi}{2}x-1.

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