Esboçar o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
Vamos usar cálculo de funções reais: determinar domínio, continuidade, simetria, derivadas para monotonia e concavidade, limites em
e assíntotas oblíquas, e então montar o esboço.
Passo 2
Domínio e interceptos
O termo está definido para todo
, logo
O termo
Como produto de funções contínuas,
é contínua em
. Em
temos
portanto o único intercepto com os eixos é o ponto
.
Passo 3
Simetria
Para verificar paridade, calcule
Para verificar paridade, calcule
Logo
é função par e o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 4
Monotonia
A derivada é
A derivada é
Para
cada parcela é positiva, então
. Para
ambas são negativas, logo
. Em
tem-se
. Concluímos que
- decresce em
,
- cresce em
,
- há mínimo global em , com valor
.
-
-
- há mínimo global em
Passo 5
Concavidade
A segunda derivada vale
A segunda derivada vale
Portanto
é estritamente convexa (concavidade voltada para cima) em todo
.
Passo 6
Limites em
e assíntotas
Como , para
Como
o que gera a assíntota oblíqua
Pela paridade, para
surge a assíntota
Passo 7
Esboço do gráfico
Reunindo tudo:
- é par e contínua em
.
- Tem mínimo global em , decresce de
até
em
e cresce de
até
em
.
- É convexa e aproxima-se das retas
Reunindo tudo:
-
- Tem mínimo global em
- É convexa e aproxima-se das retas
para
.
Resposta
O gráfico de
é uma curva convexa e par, com mínimo global em
, que decresce de
até esse ponto para
e cresce para
em
, apresentando assíntotas oblíquas