Esboçar o gráfico de f(x)=x \arctan x.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=x\:\arctan x.
Para desenhar esse gráfico, vamos determinar domínio, paridade, crescimento, concavidade e comportamento em x\to\pm\infty, além de possíveis assíntotas.

Passo 2

Domínio e paridade:
O domínio de f é todo o conjunto dos reais, pois \arctan x está definida em \mathbb{R}.
Verificamos a paridade:
f(-x)=(-x)\,\arctan(-x)=(-x)\,(-\arctan x)=x\,\arctan x=f(x),
logo f é uma função par. Em particular, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Derivada e concavidade:
Calculamos
f'(x)=\arctan x + x\cdot\frac{1}{1+x^2}
e
f''(x)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{(1+x^2)-2x^2}{(1+x^2)^2} =\frac{1+x^2+1-x^2}{(1+x^2)^2} =\frac{2}{(1+x^2)^2}>0.
Como f''(x)>0 para todo x, f é estritamente convexa. Além disso, f'(0)=0, e por convexidade esse é o único mínimo local (e global), em f(0)=0. Para x>0, f'(x)>0 e a função cresce; para x<0, cresce no sentido negativo (por ser par, decresce em (-\infty,0)).

Passo 4

Comportamento em \pm\infty e assíntotas oblíquas:
Quando x\to+\infty, \arctan x\to \pi/2, então
f(x)=x\left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{x}+o\bigl(\tfrac1{x}\bigr)\right) =\frac{\pi}{2}\,x -1+o(1).
Logo existe uma assíntota oblíqua à direita:
y=\frac{\pi}{2}x-1.
Analogamente, para x\to-\infty, \arctan x\to-\frac{\pi}{2} e
f(x)=-\frac{\pi}{2}\,x+1+o(1),
com assíntota oblíqua
y=-\frac{\pi}{2}x+1.

Passo 5

Esboço qualitativo:
– A função é par e passa por (0,0).
– É convexa e tem único mínimo em x=0.
– Cresce para x>0 e decresce para x<0.
– Possui assíntotas oblíquas y=\tfrac{\pi}{2}x-1 à direita e y=-\tfrac{\pi}{2}x+1 à esquerda.

Resposta

O gráfico de f(x)=x\arctan x é uma curva convexa e par, com mínimo global em (0,0), cresce para x>0 e decresce para x<0, e aproxima-se obliquamente das retas
y=\frac{\pi}{2}x-1 \quad\text{e}\quad y=-\frac{\pi}{2}x+1.

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