Esboçar o gráfico das seguintes funções:
f) 
 
f)
Passo 1
Beleza, vamos esboçar o gráfico da função 
 . Isso envolve entender como a função se comporta, encontrar pontos importantes como interceptações e pontos de máximo ou mínimo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra e cálculo, como encontrar raízes da função e derivadas para identificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as interceptações da função, ou seja, onde o gráfico cruza os eixos 
  e 
 .
- Interceptação com o eixo 
: Isso acontece quando . Então, o gráfico cruza o eixo no ponto .  
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interceptações com o eixo 
 , ou seja, os valores de 
  para os quais 
 .
Temos a equação:
Resolver essa equação de quarto grau pode ser complicado, mas vamos tentar fatorar.
Vamos tentar valores possíveis para 
 :
- 
Para
: Então,é uma raiz.  - 
Dividindo o polinômio por
usando divisão polinomial ou fatoração, encontramos: Agora, vamos resolver.  
Testando 
  novamente:
Então, 
  é uma raiz dupla.
Dividindo novamente por 
 :
Agora, resolvemos 
 .
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como a raiz é negativa, não temos soluções reais aqui.
Portanto, as interceptações com o eixo 
  são apenas 
  (com multiplicidade 2).
Passo 4
Vamos agora analisar o comportamento da função para 
  se aproximando de 
  e 
 .
Como o termo de maior grau é 
  e seu coeficiente é positivo, sabemos que:
- Quando 
tende para , tende para .  - Quando 
tende para , também tende para .  
Isso significa que o gráfico “subirá” nos dois lados.
Passo 5
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, vamos calcular a derivada da função e encontrar onde ela é zero.
A função é:
A derivada é:
Vamos igualar a zero:
Então, temos um ponto crítico em 
 .
Para determinar se é máximo ou mínimo, podemos usar o teste da segunda derivada.
A segunda derivada é:
Para 
 :
Como a segunda derivada é positiva, temos um ponto de mínimo em 
 .
Calculando 
  nesse ponto:
Então, o ponto de mínimo é 
 .
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Intercepta o eixo 
em .  - Intercepta o eixo 
em com multiplicidade 2.  - Tem um ponto de mínimo em 
.  - O gráfico sobe para 
nos dois extremos.  
Resposta
O gráfico da função 
  intercepta o eixo 
  em 
 , o eixo 
  em 
 , apresenta um ponto de mínimo em 
  e sobe para 
  tanto para 
  indo para 
  quanto para 
 . Com essas características, podemos desenhar o esboço do gráfico da função.