Sobre a função 
  :
(b) Estudar a concavidade da função e pontos de inflexão.
(b) Estudar a concavidade da função e pontos de inflexão.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função 
  e precisamos estudar a concavidade dessa função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade e identificar os pontos de inflexão.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada da função, 
 , que nos dá a inclinação da função em cada ponto. A derivada de 
  é 
 , a derivada de 
  é 
 , e a derivada de 
  é 0. Então,
Passo 3
Agora, calculamos a segunda derivada, 
 , que nos indica a concavidade da função. A derivada de 
  é 
  e a derivada de 
  é 0. Portanto,
Passo 4
Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de 
 :
- Se 
, a função é côncava para cima.  - Se 
, a função é côncava para baixo.  
Então, vamos resolver 
 :
Esse valor de 
  é um ponto potencial de inflexão.
Passo 5
Vamos verificar a concavidade nos intervalos determinados por 
 :
- Para 
, por exemplo, :  
[ f’’(-1) = 6(-1) = -6 < 0 \implies ) côncava para baixo.
- Para 
, por exemplo, :  
[ f’’(1) = 6(1) = 6 > 0 \implies ) côncava para cima.
Como a concavidade muda de côncava para baixo para côncava para cima quando passamos por 
 , temos um ponto de inflexão nesse ponto.
Para encontrar a coordenada 
 :
Então, o ponto de inflexão é 
 .
Resposta
A função 
  é côncava para baixo quando 
  e côncava para cima quando 
 . Além disso, possui um ponto de inflexão em 
 .