Esboçar o gráfico das seguintes funções, indicando no mesmo sistema de coordenadas o domínio e a imagem.
f(x, y)=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}} com domínio D: x^{2}+y^{2} \leq 4.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x,y)=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}
com domínio
D:\;x^{2}+y^{2}\le 4.
Isso é um exercício de superfícies em três dimensões e domínio em duas variáveis. Vamos precisar usar simetria radial e interpretar a projeção no plano xy e a forma da superfície gerada.

Passo 2

Como f depende só de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, ela é radialmente simétrica. Em coordenadas polares (r,\theta) temos
f(r)=\sqrt{1+r^{2}},
com 0\le r\le 2. Então cada linha de nível de f é um círculo de raio fixo em D.

Passo 3

A projeção do domínio no plano xy é o disco de raio 2, centrado na origem. No esboço, isso aparece como um círculo preenchido de raio 2 na base do sistema de coordenadas.

Passo 4

Para construir o gráfico em (x,y,z), tomamos o disco r\le2 e elevamos cada ponto à altura
z=\sqrt{1+r^{2}}.
No centro ( r=0) a altura mínima é z_{\min}=\sqrt{1+0}=1. Na borda ( r=2) a altura máxima é
z_{\max}=\sqrt{1+2^{2}}=\sqrt{5}.
O resultado é uma superfície de revolução em torno do eixo z, com formato de “taça” ou “bowl” mais aberta que um paraboloide.

Passo 5

A imagem de f é o intervalo
\mathrm{Im}(f)=[1,\sqrt{5}].
No esboço, marcamos no eixo z o ponto 1 (baixo) e \sqrt{5} (cima), e desenhamos a superfície interligando suavemente essas alturas sobre o disco de raio 2.

Resposta

Domínio: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\} (disco de raio 2 no plano xy).
Imagem: [1,\sqrt{5}].

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