Esboçar o gráfico das seguintes funções, indicando no mesmo sistema de coordenadas o domínio e a imagem.
com domínio
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
com domínio
Isso é um exercício de superfícies em três dimensões e domínio em duas variáveis. Vamos precisar usar simetria radial e interpretar a projeção no plano
e a forma da superfície gerada.
Passo 2
Como
depende só de
, ela é radialmente simétrica. Em coordenadas polares
temos
com
. Então cada linha de nível de
é um círculo de raio fixo em
.
Passo 3
A projeção do domínio no plano
é o disco de raio
, centrado na origem. No esboço, isso aparece como um círculo preenchido de raio
na base do sistema de coordenadas.
Passo 4
Para construir o gráfico em
, tomamos o disco
e elevamos cada ponto à altura
No centro (
) a altura mínima é
. Na borda (
) a altura máxima é
O resultado é uma superfície de revolução em torno do eixo
, com formato de “taça” ou “bowl” mais aberta que um paraboloide.
Passo 5
A imagem de
é o intervalo
No esboço, marcamos no eixo
o ponto
(baixo) e
(cima), e desenhamos a superfície interligando suavemente essas alturas sobre o disco de raio
.
Resposta
Domínio:
(disco de raio 2 no plano
).
Imagem: .
Imagem: