resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
x y^{\prime}=4 y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,y' = 4\,y
usando separação de variáveis. Aqui y'=dy/dx. É uma EDO de primeira ordem e variáveis separáveis: queremos escrever tudo em y num lado e tudo em x no outro antes de integrar.

Passo 2

Primeiro isolamos y':
y' = \frac{dy}{dx} = \frac{4\,y}{x}.
Agora dividimos ambos os lados por y (supondo y\neq0) e multiplicamos por dx, ficando:
\frac{1}{y}\,dy = \frac{4}{x}\,dx.

Passo 3

Integramos os dois lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{4}{x}\,dx.
Do lado esquerdo vem \ln|y|; do direito, 4\ln|x|, mais constante de integração C. Assim
\ln|y| = 4\ln|x| + C.

Passo 4

Aplicamos exponencial em ambos os lados para isolar y:
|y| = e^{\,\ln|y|} = e^{4\ln|x| + C} = e^C\,e^{\ln|x|^4} = K\,x^4,
onde K=e^C é constante real não nula. Voltando ao sinal, escrevemos
y = C\,x^4,
com C qualquer constante real.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y = C\,x^4,
onde C é constante de integração.

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