Esboçar o gráfico das seguintes funções, indicando no mesmo sistema de coordenadas o domínio e a imagem.
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} com domínio D: 4 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
com domínio
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 4 \le x^{2}+y^{2} \le 9\}.
Aqui o conteúdo é geometria de superfícies em \mathbb{R}^3: vamos identificar o domínio no plano xy, o conjunto imagem em z, e depois desenhar a superfície z=f(x,y).

Passo 2

O domínio D é a região no plano xy definida por
4 \le x^{2}+y^{2} \le 9,
ou seja, um anel circular de raio interno \sqrt{4}=2 e raio externo \sqrt{9}=3. Em uma projeção no plano z=0, esse domínio aparece como um anel com círculos de raio 2 e 3.

Passo 3

Como
z = f(x,y) = \sqrt{x^{2}+y^{2}},
vemos que, para (x,y)\in D, o valor de z varia de
\min z = 2 \quad\text{até}\quad \max z = 3.é
Logo o conjunto imagem é o intervalo
\operatorname{Im}(f) = [2,3].

Passo 4

A superfície dada por z=\sqrt{x^2+y^2} é um cone circular reto com vértice na origem e geratrizes inclinadas a 45^\circ. Restrita ao domínio 2\le\sqrt{x^2+y^2}\le3, temos um tronco de cone entre os planos z=2 e z=3. No mesmo sistema de eixos x,y,z esboçamos:
  1. No plano z=0, o anel de raio 2 e 3 (domínio projetado).
  2. A superfície lateral do cone que sobe do círculo de raio 2 em z=2 até o círculo de raio 3 em z=3.
  3. Na reta x=y=0, destacamos o segmento de z=2 a z=3 (imagem).

Resposta

O gráfico é o tronco do cone z=\sqrt{x^2+y^2} para 2\le\sqrt{x^2+y^2}\le3; o domínio é o anel no plano xy de raios 2 e 3, e a imagem é o intervalo [2,3].

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