Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando
nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para esboçar os gráficos de curvas paramétricas dadas e, para facilitar, queremos transformar essas equações paramétricas em uma equação na forma cartesiana. As equações que temos são:
Vamos precisar eliminar o parâmetro
para chegar na relação entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver uma das equações para
. Olhando para a segunda equação:
Vamos isolar
:
Agora temos
em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
da equação acima na primeira equação que temos para
:
Então,
Aqui, ainda temos
na equação. Para eliminar
, vamos observar que da equação
, podemos tirar a raiz quadrada:
Mas como estamos buscando uma relação cartesiana, vamos expressar
em termos de
e
. Observando que na equação para
,
podemos expressar
como:
Agora, substituímos esse valor de
na equação
:
Simplificando:
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Isso nos dá a equação cartesiana que relaciona
e
sem o parâmetro
.
Resposta
A equação cartesiana correspondente é: