Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando t nas equações, achar as equações na forma cartesiana: x = t(t^2 - 2), y = 2(t^2 - 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para esboçar os gráficos de curvas paramétricas dadas e, para facilitar, queremos transformar essas equações paramétricas em uma equação na forma cartesiana. As equações que temos são:
Vamos precisar eliminar o parâmetro para chegar na relação entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver uma das equações para . Olhando para a segunda equação:
Vamos isolar :
Agora temos em termos de .

Passo 3

Agora, vamos substituir da equação acima na primeira equação que temos para :
Então,
Aqui, ainda temos na equação. Para eliminar , vamos observar que da equação , podemos tirar a raiz quadrada:
Mas como estamos buscando uma relação cartesiana, vamos expressar em termos de e . Observando que na equação para ,
podemos expressar como:
Agora, substituímos esse valor de na equação :
Simplificando:

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Isso nos dá a equação cartesiana que relaciona e sem o parâmetro .

Resposta

A equação cartesiana correspondente é:

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