Esboçar a região de integração e calcular as integrais:
integral0^2 12 integral0^raiz4-x^2 integral0^x^2+4 y^2 d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce a região de integração em coordenadas cartesianas e compute a integral tripla integral0^2tfrac12integral0^raiz4-x^2integral0^x^2+4y^2dz,dy,dx. O conteúdo é integração múltipla em retangulares: primeiro integramos em z, depois em y e por fim em x. Para resolver, vamos precisar projetar a região no plano xy, identificar a superfície z=x^2+4y^2 que limita superiormente o sólido e usar substituição trigonométrica na integral em x.

Passo 2

No plano xy, o contador de y vai de 0 até raiz4-x^2. Como raiz4-x^2 só existe para 0<= x<=2, a parte de x de 2 a 2tfrac12 não contribui. Logo a projeção é o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante:
Para cada ponto desse quarto de disco, z varia de 0 até a superfície paraboloidal z=x^2+4y^2. Assim o sólido é o volume sob essa parábola de duas variáveis e acima do plano z=0, limitado lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=4 no primeiro quadrante.

Passo 3

Primeiro fazemos a integral em z:
integral0^x^2+4y^2dz = x^2+4y^2
Depois integramos em y:
integral0^raiz4-x^2(x^2+4y^2),dy = x^2raiz4-x^2 + 43(4-x^2)^3/2

Passo 4

Agora integramos em x de 0 a 2. Para isso usamos a troca x=2sintheta, dx=2costheta,dtheta, com thetain[0,pi/2]. Substituindo e simplificando chegamos a duas integrais de potências de sin e cos, cujo resultado é
$$
\int_{0}{\pi/2}\bigl[16\sin{2}\theta\cos^{2}\theta + \tfrac{64}{3}\cos^{4}\theta\bigr]d\theta = \pi +4\pi =5\pi.$$

Resposta

5pi

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