Esboçar a região de integração e calcular as integrais:
Passo 1
O enunciado pede que a gente esboce a região de integração em coordenadas cartesianas e compute a integral tripla
. O conteúdo é integração múltipla em retangulares: primeiro integramos em
, depois em
e por fim em
. Para resolver, vamos precisar projetar a região no plano
, identificar a superfície
que limita superiormente o sólido e usar substituição trigonométrica na integral em
.
Passo 2
No plano
, o contador de
vai de
até
. Como
só existe para
, a parte de
de
a
não contribui. Logo a projeção é o quarto de disco de raio
no primeiro quadrante:
Para cada ponto desse quarto de disco, varia de
até a superfície paraboloidal
. Assim o sólido é o volume sob essa parábola de duas variáveis e acima do plano
, limitado lateralmente pelo cilindro
no primeiro quadrante.
Para cada ponto desse quarto de disco,
Passo 3
Primeiro fazemos a integral em
:
Depois integramos em
:
Passo 4
Agora integramos em
de
a
. Para isso usamos a troca
,
, com
. Substituindo e simplificando chegamos a duas integrais de potências de
e
, cujo resultado é
$$
\int_{0}{\pi/2}\bigl[16\sin{2}\theta\cos^{2}\theta + \tfrac{64}{3}\cos^{4}\theta\bigr]d\theta = \pi +4\pi =5\pi.$$