Esboçar a região de integração e calcular as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração dada por 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x³ e 0 ≤ z ≤ y, além de calcular a integral tripla
. O conteúdo é integração iterada em três variáveis e vamos precisar entender a ordem de integração e executar cada etapa.
Passo 2
Primeiro, projetamos a região no plano xy. A variável x vai de 0 a 2 e, para cada x, y vai de 0 até
. Isso é a região sob a curva
entre x = 0 e x = 2. Depois, para cada ponto (x,y) dessa projeção, z varia de 0 até y, formando um tipo de “sólido” em que a altura é dada por y.
Passo 3
Agora calculamos a integral interna em z:
Passo 4
Em seguida, substituímos esse resultado na integral sobre y:
Passo 5
Por fim, integramos em x de 0 a 2: