Esboçar a região de integração e calcular as integrais:
integral0^2 integral0^x^3 integral0^y y d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração dada por 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x³ e 0 ≤ z ≤ y, além de calcular a integral tripla integral0^2 integral0^x^3 integral0^y y,dz,dy,dx. O conteúdo é integração iterada em três variáveis e vamos precisar entender a ordem de integração e executar cada etapa.

Passo 2

Primeiro, projetamos a região no plano xy. A variável x vai de 0 a 2 e, para cada x, y vai de 0 até x^3. Isso é a região sob a curva y = x^3 entre x = 0 e x = 2. Depois, para cada ponto (x,y) dessa projeção, z varia de 0 até y, formando um tipo de “sólido” em que a altura é dada por y.

Passo 3

Agora calculamos a integral interna em z:

Passo 4

Em seguida, substituímos esse resultado na integral sobre y:

Passo 5

Por fim, integramos em x de 0 a 2:

Resposta

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