Encontre os intervalos em que a função abaixo é crescente e os intervalos em que ela é decrescente.
f(x)=x^33-5 x^22+6 x;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por $ f(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{5x^{2}}{2} + 6x $. O objetivo é descobrir em quais intervalos essa função está crescente e em quais está decrescente. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a identificar a taxa de variação da função.

Passo 2

Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada, representada por $ f’(x) $, nos diz a inclinação da função em cada ponto. Se $ f’(x) > 0 $, a função está crescendo; se $ f’(x) < 0 $, está decrescendo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ f(x) $:
f(x)
Aplicando a regra da derivada para cada termo:
f'(x) = ddx ( x^33 - 5x^22 + 6x )

Passo 4

Agora, temos a derivada $ f’(x) = x^{2} - 5x + 6 $. Para encontrar onde a função está crescente ou decrescente, vamos resolver a inequação $ f’(x) > 0 $ e $ f’(x) < 0 $.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de $ x $ onde $ f’(x) = 0 $:
x
Resolvendo a equação quadrática:
f'(x) = 0

Passo 6

Esses pontos dividem a linha dos números reais em três intervalos:
  1. $ x < 2 $
  2. $ 2 < x < 3 $
  3. $ x > 3 $
Vamos testar cada intervalo na derivada $ f’(x) $ para ver se é positivo ou negativo.

Passo 7

Intervalo 1: $ x < 2 $
Escolha $ x = 1 $:
x < 2
Como $ f’(1) > 0 $, a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 8

Intervalo 2: $ 2 < x < 3 $
Escolha $ x = 2.5 $:
2 < x < 3
Como $ f’(2.5) < 0 $, a função está decrescente nesse intervalo.

Passo 9

Intervalo 3: $ x > 3 $
Escolha $ x = 4 $:
x > 3
Como $ f’(4) > 0 $, a função está crescendo nesse intervalo.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{5x^{2}}{2} + 6x $ é:
  • Crescente nos intervalos $ (-\infty, 2) $ e $ (3, +\infty) $.
  • Decrescente no intervalo $ (2, 3) $.

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