Encontre os intervalos em que a função abaixo é crescente e os intervalos em que ela é decrescente.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por $ f(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{5x^{2}}{2} + 6x $. O objetivo é descobrir em quais intervalos essa função está crescente e em quais está decrescente. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a identificar a taxa de variação da função.
Passo 2
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada, representada por $ f’(x) $, nos diz a inclinação da função em cada ponto. Se $ f’(x) > 0 $, a função está crescendo; se $ f’(x) < 0 $, está decrescendo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ f(x) $:
Aplicando a regra da derivada para cada termo:
Passo 4
Agora, temos a derivada $ f’(x) = x^{2} - 5x + 6 $. Para encontrar onde a função está crescente ou decrescente, vamos resolver a inequação $ f’(x) > 0 $ e $ f’(x) < 0 $.
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de $ x $ onde $ f’(x) = 0 $:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 6
Esses pontos dividem a linha dos números reais em três intervalos:
- $ x < 2 $
- $ 2 < x < 3 $
- $ x > 3 $
Vamos testar cada intervalo na derivada $ f’(x) $ para ver se é positivo ou negativo.
Passo 7
Intervalo 1: $ x < 2 $
Escolha $ x = 1 $:
Escolha $ x = 1 $:
Como $ f’(1) > 0 $, a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 8
Intervalo 2: $ 2 < x < 3 $
Escolha $ x = 2.5 $:
Escolha $ x = 2.5 $:
Como $ f’(2.5) < 0 $, a função está decrescente nesse intervalo.
Passo 9
Intervalo 3: $ x > 3 $
Escolha $ x = 4 $:
Escolha $ x = 4 $:
Como $ f’(4) > 0 $, a função está crescendo nesse intervalo.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{5x^{2}}{2} + 6x $ é:
- Crescente nos intervalos $ (-\infty, 2) $ e $ (3, +\infty) $.
- Decrescente no intervalo $ (2, 3) $.