Esboçar a regiâo de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:
\int_{-1}^{2} \int_{0}^{x} x^{2} d y d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração no plano xy e calcular a integral iterada
\int_{-1}^{2}\int_{0}^{x} x^{2}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A variável externa x varia de -1 até 2, ou seja -1\le x\le 2.
  • Para cada x fixo, a variável y varia de 0 até x, ou seja 0\le y\le x.
  • A função que estamos integrando é x^{2} (note que não depende de y).

Passo 2

Entendendo a região a partir dos limites: a condição 0\le y\le x só faz sentido (tem pontos y) quando x\ge 0. Para x<0 não existe y com 0\le y\le x, pois x seria menor que 0. Portanto a região efetiva no plano é dada por
\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\;0\le y\le x\}.
Esse conjunto é um triângulo com vértices nos pontos (0,0), (2,0) e (2,2). Esboço mental / como desenhar:
  • Desenhe o eixo x de 0 a 2.
  • A linha y=0 é a base.
  • A reta y=x é a hipotenusa que vai de (0,0) até (2,2).
  • A vertical x=2 fecha o triângulo entre (2,0) e (2,2).

Passo 3

Calcular a integral interna. Para x fixo, x^{2} é constante em relação a y. Regra usada: se c é constante, então
\int_{a}^{b} c\,dy = c\,(b-a).
Aplicando com c=x^{2}, a=0, b=x, obtemos
\int_{0}^{x} x^{2}\,dy = x^{2}\,(x-0) = x^{3}.
Isso vale para qualquer x real (a fórmula x^{2}(x-0) funciona mesmo se x for negativo — nesse caso o resultado é negativo, por causa da ordem dos limites).

Passo 4

Agora a integral iterada vira uma integral simples em x:
\int_{-1}^{2}\int_{0}^{x} x^{2}\,dy\,dx = \int_{-1}^{2} x^{3}\,dx.
Precisamos achar uma primitiva de x^{3}. Regra: uma primitiva de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aqui n=3, então uma primitiva é \dfrac{x^{4}}{4}.

Passo 5

Avaliar a primitiva entre os limites -1 e 2:
\int_{-1}^{2} x^{3}\,dx = \left.\frac{x^{4}}{4}\right|_{-1}^{2} = \frac{2^{4}}{4} - \frac{(-1)^{4}}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}.

Passo 6

Comentário didático final (importante para a prova): geometricamente a região não inclui fatias com x<0 (essas fatias são vazias), então se você fizesse a integral dupla descrevendo explicitamente a região como 0\le x\le 2,\;0\le y\le x obteria
\int_{0}^{2}\int_{0}^{x} x^{2}\,dy\,dx = \int_{0}^{2} x^{3}\,dx = \frac{16}{4}=4.
A diferença entre 4 e \tfrac{15}{4} vem do fato de que o enunciado original colocou x indo de -1 a 2 e o limite interior de y é 0 até x; para x\in[-1,0) a integral interna dá uma contribuição negativa igual a \int_{-1}^{0} x^{3}\,dx = -\tfrac{1}{4}. Assim 4 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{15}{4}, que bate com o cálculo direto.

Resposta

Região: triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (2,2).\nValor da integral: \tfrac{15}{4}.

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