Esboçar a regiâo de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:
\int_{1}^{2} \int_{0}^{2} y \ln x d y d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral iterada
\int_{1}^{2}\int_{0}^{2} y \ln x \, dy \, dx.
Informações dadas:
  • O limite externo é x variando de 1 a 2: x\in[1,2].
  • O limite interno é y variando de 0 a 2: y\in[0,2].
  • A função a integrar é y\ln x.

Passo 2

Esboço da região de integração (descrição detalhada para desenhar na prova):
  • No plano xy, os limites mostram um retângulo.
  • As abscissas vão de (x=1) a (x=2).
  • As ordenadas vão de (y=0) a (y=2).
  • Os quatro vértices do retângulo são (1,0), (2,0), (1,2), (2,2).
    Para desenhar: trace os eixos, marque x=1 e x=2 verticalmente, marque y=0 (eixo x) e y=2 horizontal; a região interior é o retângulo formado por essas retas.

Passo 3

Calcular a integral na ordem dada: primeiro em y, depois em x.
Escrevemos a integral em bloco:
\int_{1}^{2}\left(\int_{0}^{2} y \ln x \, dy\right) dx.
Aqui, ao integrar em y, tratamos x como constante porque a integração é em relação a y. Logo dentro da integral interna \ln x é constante. Assim:
\int_{0}^{2} y \ln x \, dy = \ln x \int_{0}^{2} y \, dy.
Agora calculamos \int_{0}^{2} y \, dy. Essa é uma integral simples de potência: \int y \, dy = \tfrac{y^{2}}{2}. Avaliando de 0 a 2 obtemos
\int_{0}^{2} y \, dy = \left.\tfrac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = \tfrac{2^{2}}{2}-0 = 2.
Portanto a integral interna vale
\int_{0}^{2} y \ln x \, dy = \ln x \cdot 2 = 2\ln x.

Passo 4

Agora substituímos na integral externa:
\int_{1}^{2} 2\ln x \, dx.
Para calcular \int \ln x \, dx usamos o método de integração por partes. Lembrete rápido da fórmula de integração por partes:
\int u\, dv = uv - \int v\, du,
onde escolhemos u e dv de modo conveniente.
Escolhemos para a integral \int \ln x \, dx:
  • u = \ln x então du = \frac{1}{x}\,dx;
  • dv = dx então v = x.
Aplicando a fórmula:
\int \ln x \, dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C.
Assim, para nossa integral com fator 2,
\int 2\ln x \, dx = 2\bigl(x\ln x - x\bigr) + C.

Passo 5

Agora avaliamos a primitiva encontrada entre x=1 e x=2:
\left.2\bigl(x\ln x - x\bigr)\right|_{1}^{2} = 2\bigl(2\ln 2 - 2\bigr) - 2\bigl(1\ln 1 - 1\bigr).
Calculamos passo a passo:
  • \ln 1 = 0, então 1\ln 1 -1 = -1.
  • Portanto a expressão fica
2(2\ln 2 - 2) - 2(-1) = 4\ln 2 -4 +2 = 4\ln 2 -2.
Logo o valor da integral dada é \,4\ln 2 - 2\,.

Passo 6

Verificação trocando a ordem de integração (uso prático do Teorema de Fubini; a função é contínua no retângulo, então podemos trocar a ordem):
\int_{1}^{2}\int_{0}^{2} y \ln x \, dy \, dx = \int_{0}^{2}\int_{1}^{2} y \ln x \, dx \, dy.
Integramos primeiro em x: y é constante nessa integração, então
\int_{1}^{2} y \ln x \, dx = y \int_{1}^{2} \ln x \, dx.
Usando a primitiva \int \ln x\,dx = x\ln x - x, avaliamos de 1 a 2:
\int_{1}^{2} \ln x \, dx = \bigl(2\ln 2 - 2\bigr) - \bigl(1\ln 1 -1\bigr) = 2\ln 2 -2 +1 = 2\ln 2 -1.
Então a integral interna vale y(2\ln 2 -1). Agora integramos em y de 0 a 2:
\int_{0}^{2} y(2\ln 2 -1)\, dy = (2\ln 2 -1)\int_{0}^{2} y\,dy = (2\ln 2 -1)\cdot 2 = 4\ln 2 -2.
Resultado consistente com o calculado anteriormente.

Resposta

4\ln 2 - 2

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