Esboçar a regiâo de integração e calcular as integrais iteradas seguintes: \int_{1}^{2} \int_{0}^{2} y \ln x d y d x
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral iterada
\int_{1}^{2}\int_{0}^{2} y \ln x \, dy \, dx.
Informações dadas:
O limite externo é x variando de 1 a 2: x\in[1,2].
O limite interno é y variando de 0 a 2: y\in[0,2].
A função a integrar é y\ln x.
Passo 2
Esboço da região de integração (descrição detalhada para desenhar na prova):
No plano xy, os limites mostram um retângulo.
As abscissas vão de (x=1) a (x=2).
As ordenadas vão de (y=0) a (y=2).
Os quatro vértices do retângulo são (1,0), (2,0), (1,2), (2,2).
Para desenhar: trace os eixos, marque x=1 e x=2 verticalmente, marque y=0 (eixo x) e y=2 horizontal; a região interior é o retângulo formado por essas retas.
Passo 3
Calcular a integral na ordem dada: primeiro em y, depois em x.
Escrevemos a integral em bloco:
\int_{1}^{2}\left(\int_{0}^{2} y \ln x \, dy\right) dx.
Aqui, ao integrar em y, tratamos x como constante porque a integração é em relação a y. Logo dentro da integral interna \ln x é constante. Assim:
\int_{0}^{2} y \ln x \, dy = \ln x \int_{0}^{2} y \, dy.
Agora calculamos \int_{0}^{2} y \, dy. Essa é uma integral simples de potência: \int y \, dy = \tfrac{y^{2}}{2}. Avaliando de 0 a 2 obtemos
\int_{0}^{2} y \, dy = \left.\tfrac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = \tfrac{2^{2}}{2}-0 = 2.
Portanto a integral interna vale
\int_{0}^{2} y \ln x \, dy = \ln x \cdot 2 = 2\ln x.
Passo 4
Agora substituímos na integral externa:
\int_{1}^{2} 2\ln x \, dx.
Para calcular \int \ln x \, dx usamos o método de integração por partes. Lembrete rápido da fórmula de integração por partes:
\int u\, dv = uv - \int v\, du,
onde escolhemos u e dv de modo conveniente.
Escolhemos para a integral \int \ln x \, dx:
u = \ln x então du = \frac{1}{x}\,dx;
dv = dx então v = x.
Aplicando a fórmula:
\int \ln x \, dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C.
Assim, para nossa integral com fator 2,
\int 2\ln x \, dx = 2\bigl(x\ln x - x\bigr) + C.
Passo 5
Agora avaliamos a primitiva encontrada entre x=1 e x=2: