calcule as integrais pela regra da substituição
\int_{0}^{1}(3 x-1)^{50} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral definida \int_{0}^{1}(3x-1)^{50}\,dx.
Informações dadas:
\,
\bullet Integrando: (3x-1)^{50}.
\bullet Limites de integração: x=0 até x=1.

Passo 2

Regra da substituição (explicação didática): quando temos uma integral da forma \int f(g(x))\,g'(x)\,dx, podemos fazer a troca de variável \,u=g(x)\, e obter
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
Aqui u é a nova variável, g'(x) é a derivada de g em relação a x, e du=g'(x)\,dx. Para integrais definidas podemos também trocar os limites: se x=a então u=g(a), e se x=b então u=g(b). Essa regra serve para simplificar a integral transformando uma composição em algo direto de integrar.

Passo 3

Escolha da substituição: note que o integrando é uma potência de 3x-1. Faz sentido escolher
u = 3x-1.
Calcule du: derivando ambos os lados em relação a x,
du = 3\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
Troca dos limites (usando a definição de u): quando x=0,
u(0)=3\cdot 0-1=-1.
Quando x=1,
u(1)=3\cdot 1-1=2.

Passo 4

Substituindo na integral e ajustando os limites:
\int_{0}^{1}(3x-1)^{50}\,dx = \int_{u=-1}^{u=2} u^{50}\cdot\frac{du}{3}.
Factorizando a constante \frac{1}{3} para fora da integral, fica
\int_{0}^{1}(3x-1)^{50}\,dx = \frac{1}{3}\int_{-1}^{2} u^{50}\,du.

Passo 5

Integração por regra da potência (explicação): para n\neq -1 vale
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=50, portanto uma primitiva de u^{50} é \dfrac{u^{51}}{51}. Aplicando isso à integral definida com o fator \tfrac{1}{3}:
\frac{1}{3}\int_{-1}^{2} u^{50}\,du = \frac{1}{3}\left[\frac{u^{51}}{51}\right]_{-1}^{2}.

Passo 6

Avaliação do termo entre colchetes e simplificação:
\left[\frac{u^{51}}{51}\right]_{-1}^{2}=\frac{2^{51}}{51}-\frac{(-1)^{51}}{51}.
Como (-1)^{51}=-1, temos
\frac{2^{51}}{51}-\frac{(-1)^{51}}{51}=\frac{2^{51}}{51}-\frac{-1}{51}=\frac{2^{51}+1}{51}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3}:
\frac{1}{3}\cdot\frac{2^{51}+1}{51}=\frac{2^{51}+1}{3\cdot 51}=\frac{2^{51}+1}{153}.

Resposta

\dfrac{2^{51}+1}{153}

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