calcule as integrais pela regra da substituição
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral definida
.
Informações dadas:
Integrando:
.
Limites de integração:
até
.
Passo 2
Regra da substituição (explicação didática): quando temos uma integral da forma
, podemos fazer a troca de variável
e obter
Aqui
é a nova variável,
é a derivada de
em relação a
, e
. Para integrais definidas podemos também trocar os limites: se
então
, e se
então
. Essa regra serve para simplificar a integral transformando uma composição em algo direto de integrar.
Passo 3
Escolha da substituição: note que o integrando é uma potência de
. Faz sentido escolher
Calcule
: derivando ambos os lados em relação a
,
Troca dos limites (usando a definição de
): quando
,
Quando
,
Passo 4
Substituindo na integral e ajustando os limites:
Factorizando a constante
para fora da integral, fica
Passo 5
Integração por regra da potência (explicação): para
vale
Aqui
, portanto uma primitiva de
é
. Aplicando isso à integral definida com o fator
:
Passo 6
Avaliação do termo entre colchetes e simplificação:
Como
, temos
Multiplicando pelo fator
: