Esboçar a regiâo de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral iterada
Informações dadas:
- O intervalo para
é . - Para cada
, varia entre (limite inferior) e (limite superior). - A função integranda é
.
Passo 2
Entender a região descrita pelas desigualdades: os pontos
considerados satisfazem simultaneamente
Para existir
tal que
é necessário
, isto é
. Logo, a região efetiva onde existem pontos é dada por
Os pontos importantes (vértices) são:
Descrição do esboço (desenhe no papel): traça a reta
(horizontal), a reta
(passa pela origem com inclinação
), e as linhas verticais
e
. A região é o triângulo com vértices indicados, limitado abaixo por
, acima pela reta
e à esquerda por
.
Passo 3
Comentário sobre os limites “incomuns”: para
temos
, então o integral interno
estaria com limite superior menor que o inferior; matematicamente isso é permitido e dá o negativo do integral com limites trocados. Porém, geometricamente a região não existe aí, então para interpretar como integral dupla sobre a região devemos integrar apenas onde a região existe, i.e.
. Vou calcular a integral entendendo-a como integral dupla sobre a região descrita acima.
Passo 4
Calcular a integral fazendo a integração interna em
primeiro (para
):
Para integrar em
tratamos
como constante. Uma primitiva em
é
Avaliada entre
e
temos
Calcule passo a passo os termos:
logo a parte superior é
. A parte inferior é
. Portanto o valor da integral interna é
Passo 5
Agora integramos em
sobre o intervalo onde a região existe, isto é
:
Calculamos uma primitiva em
:
Avaliaremos entre
e
:
Calcule cada pedaço:
Para
:
Subtraindo:
Passo 6
Verificação (opcional, mas bom para fixar): trocando a ordem de integração podemos escrever a região como
e, para cada
,
. Assim a integral vira
fazendo a integração em
e depois em
obtém-se o mesmo resultado
. Isso confirma que o valor encontra-se correto.