Esboçar a regiâo de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:
\int_{0}^{1} \int_{1}^{2 x}(2 x+4 y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{1}^{2x}(2x+4y)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • O intervalo para x é 0\le x\le1.
  • Para cada x, y varia entre 1 (limite inferior) e 2x (limite superior).
  • A função integranda é 2x+4y.

Passo 2

Entender a região descrita pelas desigualdades: os pontos (x,y) considerados satisfazem simultaneamente
0\le x\le1\qquad\text{e}\qquad 1\le y\le 2x.
Para existir y tal que 1\le y\le 2x é necessário 2x\ge1, isto é x\ge\frac{1}{2}. Logo, a região efetiva onde existem pontos é dada por
\frac{1}{2}\le x\le1,\qquad 1\le y\le 2x.
Os pontos importantes (vértices) são:
\left(\tfrac{1}{2},1\right),\quad (1,1),\quad (1,2).
Descrição do esboço (desenhe no papel): traça a reta y=1 (horizontal), a reta y=2x (passa pela origem com inclinação 2), e as linhas verticais x=\tfrac{1}{2} e x=1. A região é o triângulo com vértices indicados, limitado abaixo por y=1, acima pela reta y=2x e à esquerda por x=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Comentário sobre os limites “incomuns”: para 0\le x<\tfrac{1}{2} temos 2x<1, então o integral interno \int_{1}^{2x} estaria com limite superior menor que o inferior; matematicamente isso é permitido e dá o negativo do integral com limites trocados. Porém, geometricamente a região não existe aí, então para interpretar como integral dupla sobre a região devemos integrar apenas onde a região existe, i.e. x\in[\tfrac{1}{2},1]. Vou calcular a integral entendendo-a como integral dupla sobre a região descrita acima.

Passo 4

Calcular a integral fazendo a integração interna em y primeiro (para x\in[\tfrac{1}{2},1]):
\int_{1}^{2x}(2x+4y)\,dy.
Para integrar em y tratamos x como constante. Uma primitiva em y é
\int (2x+4y)\,dy = 2x\,y + 2y^{2}.
Avaliada entre y=1 e y=2x temos
\bigl[2x\,y + 2y^{2}\bigr]_{1}^{2x} = \bigl(2x\cdot 2x + 2(2x)^{2}\bigr) - \bigl(2x\cdot 1 + 2\cdot 1^{2}\bigr).
Calcule passo a passo os termos:
2x\cdot 2x = 4x^{2},\qquad 2(2x)^{2}=2\cdot 4x^{2}=8x^{2},
logo a parte superior é 4x^{2}+8x^{2}=12x^{2}. A parte inferior é 2x+2. Portanto o valor da integral interna é
12x^{2}-2x-2.

Passo 5

Agora integramos em x sobre o intervalo onde a região existe, isto é x\in[\tfrac{1}{2},1]:
\int_{\tfrac{1}{2}}^{1}\bigl(12x^{2}-2x-2\bigr)\,dx.
Calculamos uma primitiva em x:
\int (12x^{2}-2x-2)\,dx = 4x^{3} - x^{2} - 2x + C.
Avaliaremos entre \tfrac{1}{2} e 1:
\bigl[4x^{3}-x^{2}-2x\bigr]_{\tfrac{1}{2}}^{1} = \bigl(4\cdot 1^{3}-1^{2}-2\cdot 1\bigr) - \bigl(4\cdot(\tfrac{1}{2})^{3}-(\tfrac{1}{2})^{2}-2\cdot\tfrac{1}{2}\bigr).
Calcule cada pedaço:
4\cdot 1 -1 -2 = 4-1-2 = 1.
Para x=\tfrac{1}{2}:
4\cdot\left(\tfrac{1}{8}\right) - \tfrac{1}{4} - 1 = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4} - 1 = -\tfrac{3}{4}.
Subtraindo:
1 - \bigl(-\tfrac{3}{4}\bigr) = 1 + \tfrac{3}{4} = \tfrac{7}{4}.

Passo 6

Verificação (opcional, mas bom para fixar): trocando a ordem de integração podemos escrever a região como 1\le y\le 2 e, para cada y, y/2\le x\le1. Assim a integral vira
\int_{1}^{2}\int_{y/2}^{1}(2x+4y)\,dx\,dy,
fazendo a integração em x e depois em y obtém-se o mesmo resultado \tfrac{7}{4}. Isso confirma que o valor encontra-se correto.

Resposta

\dfrac{7}{4}

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