Esboçar a região de integração e calcular a integral iterada de:
integral1^e integralln x^1 x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar a região de integração no plano integral1^e!integralln x^1 x,dy,dx e calcular a integral
Isso é parte de “Cálculo de integrais duplas” (ou integrais iteradas). Para resolver vamos precisar:
  • Entender como é a região dada pelos limites e .
  • Saber integrar em ordem primeiro (tratando como constante) e depois em .
  • Usar técnica de integração por partes (quando aparecer ).

Passo 2

Primeiro rascunho da região:
  • Em , vai de até .
  • Para cada , varia de até a reta .
    No plano, a curva nasce em , sobe devagar, e chega em . A linha horizontal corta essa curva em . Então o “borradinho” é o pedaço entre essa curva e a reta , de a .

Passo 3

Agora a gente resolve a integral interna em integraly=ln x^1 x,dy = xl[yr]y=ln x^1 = x,(1 - ln x) . Como integral1^e x,(1-ln x),dx é tratado como constante:
Então a nossa integral vira

Passo 4

Pra calcular integral x,dx ;-;integral xln x,dx , a gente separa em duas integrais:
integral u,dv = u,v - integral v,du
– A primeira u = ln x, dv = x,dx Longrightarrow du = tfrac1x,dx, v = integral x,dx = tfracx^22 é direta: antiderivada .
– A segunda precisa de integração por partes.
Integração por partes diz:
Escolhemos:

Passo 5

Aplicando partes em integral xln x,dx = u,v - integral v,du = x^22ln x ;-;integral x^22cdot1x,dx = x^22ln x ;-;integral x2,dx = x^22ln x ;-;x^24 :
integral x(1-ln x),dx = x^22 ;-;l(x^22ln x - x^24r) = x^22 - x^22ln x + x^24 = 3x^24 - x^22ln x
Logo,

Passo 6

Só falta avaliar de l[3x^24 - x^22ln xr]1^e = l(3e^24 - e^22cdot1r) - l(3cdot1^24 - 1^22cdot0r) = l(3e^24 - 2e^24r) - 34 = e^24 - 34 = e^2 - 34 até :

Resposta

boxede^2 - 34

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