Esboçar a região de integração e calcular a integral iterada de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar a região de integração no plano
e calcular a integral
Isso é parte de “Cálculo de integrais duplas” (ou integrais iteradas). Para resolver vamos precisar:
- Entender como é a região dada pelos limites
e . - Saber integrar em ordem
primeiro (tratando como constante) e depois em . - Usar técnica de integração por partes (quando aparecer
).
Passo 2
Primeiro rascunho da região:
- Em
, vai de até . - Para cada
, varia de até a reta .
No plano, a curvanasce em , sobe devagar, e chega em . A linha horizontal corta essa curva em . Então o “borradinho” é o pedaço entre essa curva e a reta , de a .
Passo 3
Agora a gente resolve a integral interna em
. Como
é tratado como constante:
Então a nossa integral vira
Passo 4
Pra calcular
, a gente separa em duas integrais:
– A primeira
é direta: antiderivada
.
– A segunda precisa de integração por partes.
– A segunda
Integração por partes diz:
Escolhemos:
Passo 5
Aplicando partes em
:
Logo,
Passo 6
Só falta avaliar de
até
: