Esboçar a trajetória de uma partícula P, sabendo que seu movimento é descrito por:
d) v(t)=ln t i+j+k, t>0

Passo 1

Neste exercício vamos esboçar a trajetória de uma partícula cuja velocidade é dada por vec v(t)=ln t,vec i+vec j+vec k, com t>0. O conteúdo é cinemática vetorial, e vamos usar a relação vec v=dfracdvec rdt.

Passo 2

Como vec v=dvec r/dt, integramos cada componente em relação a t:
Para x:
integral ln t,dt = tln t - t + C1
Para y:
integral 1,dt = t + C2
Para z:
integral 1,dt = t + C3

Passo 3

A posição geral fica
vec r(t) = (tln t - t + C1),vec i + (t + C2),vec j + (t + C3),vec k,
sem condição inicial específica. Para simplificar o esboço, podemos escolher C1=C2=C3=0, obtendo
vec r(t)=(tln t - t,,t,,t)

Passo 4

Para esboçar a curva note que ela está contida no plano z=y, pois z(t)=y(t). O parâmetro t cresce de 0^+ a infty, e:
  • Para 0, x(t)=tln t - t é negativo e tende a zero quando tto0^+.
  • Em t=1, x(1)=-1, y(1)=z(1)=1.
  • Para t>1, x(t) cresce lentamente, enquanto y e z crescem linearmente.
    Assim, a curva sai de perto de (0,0,0), passa por (-1,1,1) e se afasta no plano z=y, subindo em y,z e variando em x.

Resposta

A trajetória geral é
vec r(t)=(tln t - t + C1),vec i + (t + C2),vec j + (t + C3),vec k,
para t>0. Tomando C1=C2=C3=0 temos
vec r(t)=(tln t - t,,t,,t)

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